3.2. Течение жидкости в круглой трубе

В соответствии с рис. 3.2, при течении в круглой трубе скорость жидкости равна нулю около стенок и максимальна на оси трубы (рис. 3.3). Иначе говоря,

при должно быть(а)

при должно быть(б)

Найдём закон изменения скорости частиц жидкости в зависимости от их расстояниядо оси трубы радиуса

В трубе выделим воображаемый цилиндрический объём жидкости радиуса и длины(рис. 3.4).

Рис. 3.3 Рис. 3.4

У цилиндра площадь боковой поверхности равна поэтому со стороны внешней среды на боковую поверхность действует сила

На торцы цилиндра действует сила давления

Цилиндр движется равномерно (не ускоренно), поэтому действующая на цилиндр суммарная сила равна нулю:

Решаем полученное дифференциальное уравнение:

(в)

Для определения неизвестной константы воспользуемся начальным условием (а):

Отсюда

Подставим в (в):

(3.3)

Условие (б) даёт

(3.4)

Поэтому и формула (3.3) запишется так:

(3.5)

Найдём поток вектора скорости сквозь поперечное сечение трубы (т.е. найдём объёмный расход жидкости), применив формулу (2.2):

Так как – круг, вычисления удобно вести в полярных координатах. Тогда

Подставив сюда значение (3.4), получим

Формула Пуазейля

(3.6)

По формуле Пуазейля можно определить вязкость жидкости:

Числовые значения в правой части определяются из условий эксперимента.

3.3. Ламинарное и турбулентное течения

Пусть жидкость вытекает из сосуда по горизонтальной стеклян-ной трубке (рис. 3.5). В капилляр будем впускать ту же, но окрашенную жидкость и смотреть, какая струйка будет течь по горизонталь­ной трубке.

Если сечение горизонтальной трубки мало и скорость мала, то ок­рашенная струйка будет двигаться прямолинейно, не смешиваясь с ос­тальной прозрачной жидкостью. Та­кое течение называется слоистым, или ламинарным.

Если сечение горизонтальной трубки увеличивать или увеличи­вать скорость течения, появится не-регулярное движение частиц жид­кости: окрашенная струйка сначала начнёт дрожать, а потом хаотично перемешиваться с прозрачными стру- Рис. 3.5

ями. Такое течение называют турбулентным.

Формула Пуазейля справедлива только для ламинарного тече­ния.

Введём безразмерную величину

Число Рейнольдса

(3.7)

Переход ламинарного течения в турбулентное происходит при некотором критическом числе Рейнольдса Это значение сильно зависит от формы входной части трубы:

При стационарном турбулентном течении скорость в данной точке пространства случайным образом меняется во времени, но среднее значениенаправлено вдоль оси трубы. Средняя скорость остаётся постоянной по всему сечению, и только в тонком пограничном слое у стенки трубы падает до нуля (рис. 3.6).Рис. 3.6

На практике при турбулентном течении используется формула

или

(3.8)

в которой безразмерный гидрав­лический коэффициент.

Найдём соответствующую фор­мулу для ламинарного течения. Так как то

(3.6)

т.е.

(3.9)

Сравнение формул (3.8) и (3.9) показы­вает, что повышение скорости прокачки жидкости по трубам потребует при турбу­лентном течении большего перепада дав­ления чем при ламинарном. Гра­-Рис. 3.7

фик зависимости скорости прокачки от перепада давления показан на рис. 3.7.