1.2. Уравнения гидростатики

Внутри покоящейся жидкости мысленно выделим бесконечно малый прямоугольный кусочек объёмом (рис. 1.6). Его масса где – плотность. На кусочек со стороны окружающей жидкости действуют сжимающие поверхностные силы давления, которые обозначим Пусть на него действует также массовая сила В соответствии с (1.1) общая массовая сила, действующая на массу равна Так как кусочек неподвижен, сумма всех сил равна нулю:

(а)

Введём систему координат как показано на рис. 1.6. Тогда

В проекциях на оси координат уравнение (а) запишется так:

Следовательно,

(б)

где – координаты вектора

Ввиду одинаковости вида этих выражений займёмся каким-нибудь одним из них, например, вторым:

(в)

Силы, действующие в направлении оси давят на левую и правую грани. Обозначимдавление жидкости на левую грань. Площадь левой грани поэтому на неё действует сила Давление на правую грань может отличаться отпоэтому обозначим егогдедобавка к(частный дифференциал, или приращение давления при смещении на расстояниеНа правую грань действует сила(рис. 1.6). Равенство (в) запишется так:

Рис. 1.6

Раскроем скобки и преобразуем левую часть. Будем иметь

(г)

Так как добавка определяется по формуле

то подстановка в (г) даст

Аналогичные равенства получаются при преобразовании первого и третьего выражений в (б). В итоге получим систему дифференциальных уравнений:

Уравнения гидростатики в скалярной форме

_(1.2)

Эти уравнения можно записать в компактном виде. Умножим первое уравнение на вектор второе – на третье – наСложим полученные равенства. Получится

Раскроем скобки и перегруппируем члены

Следовательно,

или

Уравнения гидростатики в векторной форме

Подробно о градиенте и набла-операторе сказано в Приложении.

З а д а ч а 1. Найти если

 Найдём частные производные

В точке М они равны:

Значит, градиент в точке М равен



1.3. Жидкость в поле силы тяжести

Вертикальную ось направим вниз от свободной поверхности жидкости (рис. 1.7). Координата будет указывать глубину.

В поле силы тяжести на каждую частицу жидкости действует массовая сила

т.е.

Подставив в уравнения гидростатики (1.2)

значения получим

систему уравнений для определения давле-

ния

Рис. 1.7

Из первого уравнения следует, что не зависит от координатыИз второго уравнения следует, чтоне зависит отЛишь третье уравнение говорит о том, чтозависит от глубины

Значит, во всех точках воображаемой горизонтальной плоскости, пересекающей покоящуюся жидкость, давление одинаково. (1.3)

Из третьего уравнения получаем

Так как любая жидкость практически несжимаема, её плотность на ^{всех глубинах одинакова:} Если глубина не слишком^{велика, то не успевает измениться, В таком случае}

(а)

Получилась зависимость давления от глубины

Чтобы найти константу C, зададим начальное условие:

при давление равно

Тогда

(а) т.е.(б)

(а), (б)

Итак,

(1.4)

П р и м е ч а н и е 1. Значения плотности различных жидкостей даются в справочниках. Поэтому обычно плотности считаются известными.

Пр и м е ч а н и е 2. Утверждение (1.3) может не быть справедливым, если с горизонтальная плоскость пересекает разные жидкости. Например, на рис. 1.8 показана трубка, заполненная ртутью и водой. Воображаемая плоскостьАБ пересекает ртуть и воду, поэтому в общем случае Плоскость ВГ пересекает только ртуть, поэтому По этой же причине, если постепенно подниматься к уровню ДЕ, то будет Выше уровня ДЕ равенство давлений может не соблюдаться.

П р и м е ч а н и е 3. Если погружаться в воду, то через каждые 10 метров (т.е. при давление будет увеличиваться примерно на 1 атм. Действительно, из (1.4) следует поэтому

т.е. Рис. 1.8

При м получим

З а д а ч а 1. Определить высоты и (рис. 1.9), если известны плотности бензина ртути воды и высоты Атмосферное давление принять равным

 На верхние открытые поверхности бензина и ртути действует атмосферное давление, которое примем равным В левом нижнем колене (изгибе) содержится бензин. На бензине выделяем горизонтальный уровень А-А. Давление в трубке, оказываемое сверху на левый участок А и правый участок А, одинаково. С помощью формулы (1.3) это равенство запишется так:

(а)

В правом нижнем колене содержится ртуть. На ртути выделяем горизонтальный уровень Б-Б. Давление в трубке, оказываемое сверху на левый участок Б и правый участок Б, одинаково. На левый участок Б давит столб воды высотой поэтому

(б)

Рис. 1.9

Из (а) находим

м.

Из (б) находим Подставив из (а), будем иметь

м. 