4.2. Методы решения совместных систем конечных и дифференциальных уравнений
Статические модели аппаратов с параметрами, распределенными по одной координате и динамические модели аппаратов с сосредоточенными параметрами имеют вид совместных систем конечных и обыкновенных дифференциальных уравнений, состоящих из двух подсистем, которые определим соответственно как “дифференциальную” и “конечную” подсистемы. Система имеет вид:
где z1(t), z2(t) — неизвестные вектор-функции состояния, x(t) — вектор-функция входа, являющаяся известной функцией времени t, z10 –начальное состояние, f,g – известные функции.
Наиболее простой класс совместных систем дифференциальных и конечных уравнений соответствует случаю, когда алгебраическая подсистема аналитически разрешима относительно “алгебраических” переменных, а дифференциальная подсистема — относительно производных “дифференциальных” переменных. В этом случае может быть применен следующий метод решения совместной системы уравнений. Алгебраическая подсистема разрешается относительно алгебраических переменных, и полученное решение подставляется в дифференциальную подсистему. Таким образом, решение совместной системы сводится к решению задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Математическая
модель изотермического реактора
идеального вытеснения, в котором
протекает простая необратимая реакция
,
имеет вид:
.
“Алгебраическая” подсистема, представленная единственным уравнением, аналитически разрешима относительно алгебраической переменной r(l); ее решение имеет вид:
Подставив r(l) в “дифференциальную” подсистему, получим обыкновенное дифференциальное уравнение
Это – уравнение с разделяющимися переменными. Разделение переменных и последующее интегрирование приводит к следующему решению:
и, следовательно,
Если “алгебраическая” подсистема в явном виде неразрешима относительно “алгебраических” переменных, то можно применить следующий метод решения совместной системы уравнений. “Алгебраическую” подсистему решать численным методом (например, методом Ньютона-Рафсона), и полученное на каждом шаге решение подставлять в “дифференциальную” подсистему, получая систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которую можно решить, например, методом Рунге-Кутта* .
Однако такой подход не является необходимым. Дело в том, что в любом случае “дифференциальная” подсистема при численном решении заменяется ее конечно-разностной аппроксимацией, так что в итоге получается система конечных уравнений, которую и предстоит решать на каждом шаге интегрирования.
Для ХТС НД, содержащих технологические аппараты с распределенными параметрами, динамическая модель имеет вид совместных систем дифференциальных уравнений с частными производными и конечных уравнений:
(12)
с
граничными условиями :
и
начальными условиями:
Если
производные
выражаются явно, то“дифференциальная”
подсистема системы (10) будет иметь вид:
Это уравнение можно решать аналитически, например, методом характеристик, составив систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
,
интегрируя которые, можно получить решение с точностью до констант интегрирования, определяемые из начальных и граничных условий.
В
качестве примера рассмотрим динамическую
модель РИВ, в котором происходит простая
необратимая реакция
в изотермических условиях:
начальное
условие имеет вид:
,
а
граничное условие вид:
.
В результате решения алгебраического уравнения, выражающего закон действующих масс, получим:
.
Подстановка
в дифференциальное уравнение дает:
.
Составим систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
.
Проинтегрируем
ее при начальным условии
и граничном -
.
Тогда состояниеc(l,t)
реактора определяется выражением:
а выход в виде функции времени получается из этого выражения при l=L, где L – длина реактора.
.
Если производные от неизвестных функций содержатся в уравнениях в степенях, отличных от первой, то совместную систему дифференциальных и конечных уравнений можно решить численным методом, для чего исходные дифференциальные уравнения преобразуются в эквивалентные им разностные уравнения. В результате получается система алгебраических уравнений.