3. Модели структуры химико-технологических систем

Технологические аппараты непрерывного действия, работающие в стационарном режиме, находятся во взаимодействии, выражающемся в наличии между ними материальных и энергетических потоков. Взаимодействие аппаратов связывает их в ХТС, и отражается в виде моделей структуры.

Известны различные способы моделирования структуры ХТС, но в любом случае модель структуры дополняет модели технологических аппаратов. Конкретный вид моделей структуры определяется целью моделирования и способом описания технологических потоков.

Поскольку структура ХТС непрерывного действия статична, в качестве ее модели можно применять любые статические структурные модели, в частности — графы. Многие операции, выполняемые над структурой ХТС и заключающиеся в ее преобразованиях, формально представляют собой преобразования графов. К таким операциям, выполняемым при расчете статических режимов сложных ХТС, относятся определение последовательности расчета технологических аппаратов разомкнутых систем и преобразование замкнутых систем в эквивалентные им разомкнутые. Ниже приведены некоторые используемые при расчете ХТС основные понятия теории графов.

Теория графов — специальная математическая дисциплина, изучающая особого рода “топологические” объекты, называемые графами. Первой задачей по теории графов была сформулированная Л.П.Эйлером^*в 1736 году задача о кенигсбергских мостах, получившая название “задачи об эйлеровом цикле графа”.

Графом G=(V,E) называется множество (V,E), где V — непустое конечное множество вершин, а E(_i,_j) — множество неупорядоченных пар различных вершин, называемых ребрами или дугами, тогда V — число вершин, E — число ребер графа. Графы можно представить матрицами с булевыми элементами**. Например, матрица смежности графа G=(V,E), где V=n, определяется следующим образом:

На рис.4 приведен пример графа, матрица смежности которого имеет вид:

; V=3; E=3

Граф H=(V₁, E₁) называется подграфом графа G=(V, E), если V₁V, E₁E, то есть множество вершин графа H является подмножеством вершин графа G, и множество ребер графа H является подмножеством ребер графа G.

Граф G=(V,E) называется двудольным, если существует разбиение V={V₁,V₂} такое, что никакие две вершины из V₁ и V₂ не являются смежными, то есть {V₁}{V₂}=0.

Для приложений к моделированию структуры замкнутых ХТС и методам их расчета, анализа и синтеза имеют значение такие понятия теории графов как маршрут, цепь, цикл, комплекс, связность, а также некоторые специальные свойства графов, которые излагаются далее.

Маршрутом длины k в графе G=(V,E) из вершины в вершину называется последовательность вершин _iV {₀,₁..., _k } такая, что ₀=, а _k= и [_i-1,_i]E i=1,...k. Маршрут называется замкнутым, если ₀=_k .

Маршрут называется цепью, если все его вершины различны. Замкнутая цепь называется циклом. Цикл называется простым, если ₀=_k , а остальные вершины _i различны.

Граф, не содержащий циклов, называется ациклическим. Граф G=(V,E) называется связным, если каждая пара различных вершин может быть соединена маршрутом. Связный ациклический граф называется деревом.

Комплексом называется связный подграф графа, каждая вершина и каждая дуга которого входит в один из циклов графа и который содержит все вершины, входящие в циклы, содержащие любую произвольную вершину (входящую в комплекс).

В ЭВМ графы представляются в матричном виде, например, в виде матриц смежности. Для графа с n вершинами требуется ячеек памяти из-за симметричности матрицы и нулевой ее диагонали.

Так как технологические потоки имеют направления, то в качестве моделей структуры ХТС непрерывного действия применяются ориентированные графы (орграфы). В этих графах дуги имеют направления, показываемые стрелками.

Ориентированный граф G=(V,E) есть пара G=(V,E), где V — конечное множество вершин, а E — произвольное подмножество VV. Направление дуг обозначается порядком в VV. Например, если (,)E, то говорят, что дуга выходит из и входит в . Пример ориентированного графа приведен на рис.5. Его матрица смежности имеет вид:

V=₁,₂,₃; E=(₁,₂),(₂,₃),(₃,₁).

Маршрутом длины k из в в орграфе G=(V,E) называется последовательность дуг вида: (,₁), (₁₂), (₂₃),..., (_k-2k-1), (_k-1), то есть вторая вершина каждой дуги совпадает с первой вершиной следующей дуги.

Для орграфа вводятся понятия слабой, односторонней и сильной связности. Ориентированный граф G=(V,E) называется слабо связным, если граф F(G) связный, где F(G) является графом, связанным с графом G, то есть таким графом, у которого множество вершин (,) заменяется их множеством [,] (,)E (рис.6 а); односторонне связным, если для каждой пары различных вершин ,V существует маршрут из в или обратно (рис.6 б) и сильно связным, если для каждой пары различных вершин ,V существует маршрут из в и обратно (рис.6 в). Если G — сильно связный граф, то он односторонне связный и слабо связный.

Рис.6. Орграфы: а – слабо связный, б – односторонне связный, в – сильно связный

Цикл, содержащий каждое ребро только один раз, называется эйлеровым циклом графа. Граф, содержащий эйлеров цикл, называется эйлеровым графом. Цикл конечного связного графа называется гамильтоновым^*, если он проходит через каждую вершину графа только один раз. Граф, содержащий гамильтонов цикл, называется гамильтоновым графом. Для начального ознакомления с теорией графов можно воспользоваться книгой [3].

Применим теорию графов для моделирования химико-технологических систем непрерывного действия.

Рассмотрим ХТС, изображенную на рис.2. Система состоит из трех аппаратов и содержит 6 материальных потоков. Сформируем модель системы в виде ориентированного графа, для чего введем фиктивные аппараты A₀, A₄ и A₅, тогда принципиальная схема ХТС примет вид, изображенный на рис.7.

Структурную модель системы можно представить в виде графа, изображенного на рис.8. Технологические аппараты изображаются вершинами графа, материальные связи — дугами, а направления материальных потов — ориентацией графа (рис.8). Граф, моделирующий разомкнутую структуру ХТС - ациклический.

На рис.9 изображена замкнутая (включающая рецикл) ХТС, содержащая 3 аппарата и 5 материальных потоков. Введем фиктивные аппараты A₀ (смешение потоков) и A₅ (разъединение потоков), тогда схема примет вид, изображенный на рис.10, а ее структурной моделью будет циклический ориентированный граф, изображенный на рис.11.

Структура ХТС может быть задана в аналитическом виде, а именно, в виде системы уравнений, связывающих входы и выходы разных технологических аппаратов. Эти уравнения могут иметь различный вид в зависимости от способа задания размерности технологических потоков. Наиболее распространены два вида структурных моделей. Первый вид применяется при различном числе компонентов, характеризующих поток, и отсутствии разделения или суммирования потоков, второй — при одинаковой размерности всех потоков в системе и наличии точек суммирования и разделения потоков. Опишем, следуя [4], упомянутые способы моделирования структуры ХТС.

Способ 1. Пусть первые s_k входных переменных аппарата k являются входными переменными ХТС, s_k n_k , где n_k — количество входных переменных аппарата k, пусть также первые g_k выходных переменных аппарата h являются выходными переменными системы (g_k m_k ), где m_k — количество выходных переменных аппарата h. Тогда можно определить вектор, компоненты которого — входные переменные аппарата k являются входными переменными системы x^(k)=(x₁^(k),x₂^(k),...,x_Sk^(k)) (рис.12). Тогда модель структуры ХТС можно представить в следующем виде:

где - количество аппаратов в ХТС.

Эта модель полностью определяет внутренние связи между аппаратами и означает, что выходная переменная g_k,i аппарата h_k,i равна входной переменной i аппарата k.

Достоинство модели структуры этого вида состоит в относительной простоте; недостаток в том, что при такой форме записи принимается, что в разных потоках может быть различное количество компонент.

В частном случае, когда все компоненты выходного потока аппарата h равны соответствующим компонентам входного потока аппарата k модель принимает более простой вид:

Например, модель структуры ХТС, изображенной на рис.2, имеет вид:

Способ 2. Пусть аппарат k имеет N_k входных и M_k выходных потоков.

Введем следующие обозначения:

x^(ks)=(x₁^(ks) ,x₂^(ks) , ...,x_nks^(ks)) — вектор переменных входного потока S аппарата k;

y^(kj)=(y₁^(kj), y₂^(kj), ..., y_mkj^(kj)) — вектор переменных выходного потока j аппарата k.

Модель аппарата k имеет вид:

Будем считать, что все потоки x^(ki) и y^(kj) имеют одни и те же компоненты (если некоторые компоненты в некоторых потоках отсутствуют, то их можно считать равными нулю). С учетом вышеизложенного связь между аппаратами можно представить в виде:

где - выходной потокаппарата;

- общее количество входных потоков аппарата ;

- общее число аппаратов в ХТС;

- структурные параметры;

Достоинство этой модели — одинаковая размерность всех потоков; недостаток — более сложная форма записи. Если аппарат имеет один входной поток, а аппарат— один выходной поток, то

Если это условие справедливо для любого аппарата ХТС, то аналитический вид структурной модели примет вид:

Выходной поток любого аппарата может подаваться только на один вход другого аппарата; поэтому, если , то, что выражается следующим условием

Например, для ХТС, структура которой изображена на рис.2, модель принимает вид:

где есть матрица вида:

.

Эти модели структуры можно применять при расчете и анализе ХТС (см. раздел 2).