2. Модели технологических аппаратов

Технологические аппараты по признаку зависимости режимных параметров от пространственных координат могут быть отнесены к одному из следующих двух типов: аппараты с сосредоточенными параметрами и аппараты с распределенными параметрами. В первых значения режимных параметров одинаковы во всех точках объема аппарата, во вторых — изменяются по координатам: одной, двум или трем. Наиболее часто применяются аппараты с осевой симметрией (трубчатые реакторы, теплообменники, колонные аппараты для разделения), в которых изменение параметров происходит по одной (иногда — двум) координатам. Примером аппарата с сосредоточенными параметрами может служить реактор идеального смешения (РИС), аппарата с распределенными параметрами — реактор идеального вытеснения (РИВ). Модели технологических аппаратов состоят из систем уравнений балансов и физико-химических законов.

Модели стационарных режимов аппаратов с сосредоточенными параметрами имеют вид систем конечных уравнений:

,

в которых — известные векторные функции.

Рассмотрим изотермический реактор идеального смешения, в котором протекает простая необратимая реакция первого порядка. Математическая модель реактора состоит из уравнения материального баланса по одному из компонентов реакции (например, по реагенту А) и уравнения, выражающего закон действующих масс, и имеет следующий вид:

(1)

где — соответственно молярные концентрации реагента А на входе и выходе реактора, кмольм^-3; — скорость химической реакции по реагенту А, кмольм^-3ч^-1; — константа скорости реакции, ч^-1; — объем реактора, м³; — объемный расход реагента А, м³ч^-1.

Переменными модели являются концентрация реагента А () и скорость химической реакции (), а параметрами (коэффициентами) модели — объем реактора (), объемный расход реагента (), константа скорости реакции ().

Решение системы уравнений (1) имеет вид:

Состояние реактора (c,r) совпадает с его выходом.

Модель неизотермического реактора с внешним теплообменом, в котором протекает реакция , имеет вид:

(2)

где— тепловой эффект реакции, кДжкмоль^-1;

—температура в реакторе, К;

—температура на входе в реактор, К;

—температура хладагента, К;

—средняя плотность реакционной массы, кгм^-3;

—коэффициент теплопередачи, Втм^-2K^-1;

—поверхность теплообмена, м²;

—энергия активации реакции, кДжкмоль^-1;

—универсальная газовая постоянная, кДжкмоль^-1К^-1;

—предэкспоненциальный множитель, ч^-1;

С_p удельная теплоемкость реакционной массы, кДж кг^-1 .

Модель реактора, работающего в автотермическом режиме, в котором протекает реакция ,имеет вид:

(3)

Первое уравнение систем (2) и (3) выражает материальный баланс РИС, второе — его тепловой баланс, третье — закон действующих масс, четвертое — закон Аррениуса.

Статические модели аппаратов с распределенными параметрами также включают уравнения материального, энергетического (обычно, теплового) балансов и физико-химических законов. Так как переменные моделей являются функциями пространственных координат, то уравнения материального баланса имеют вид обыкновенных дифференциальных уравнений или дифференциальных уравнений в частных производных (в зависимости от числа пространственных координат, по которым распределены переменные), а уравнения физико-химических законов конечны. Статические модели аппаратов с параметрами, распределенными по одной пространственной координате можно представить в следующем виде:

В систему уравнений входят переменные, которые можно разбить на две группы: к первой группе относятся переменные , которые входят в систему уравнений вместе с их производными, а производные от переменныхвторой группы в систему не входят. Назовем первые“дифференциальными”, а вторые — “алгебраическими” переменными.

Статическая модель аппаратов с параметрами, распределенными по трем пространственным координатам , имеет вид:

Статическая модель аппаратов с параметрами, распределенными по одной пространственной координате, когда балансы описываются дифференциальными уравнениями порядка n, имеет вид:

Рассмотрим изотермический реактор идеального вытеснения, работающий в статическом режиме, в котором протекает простая необратимая реакция . Математическая модель реактора имеет вид совместной системы обыкновенных дифференциальных и конечных уравнений. Дифференциальное уравнение выражает материальный баланс реактора, а конечное — закон действующих масс:

где — соответственно молярная концентрация реагента А на входе в реактор и в его произвольном сечении , кмольм^-3; — скорость реакции в произвольном сечении реактора , кмольм^-3ч^-1; — константа скорости реакции, ч^-1; — объемный расход реагента, м³ч^-1; — площадь поперечного сечения реактора, м²; — текущая координата, м.

Решение системы уравнений имеет вид:

и выражает концентрацию реагента А () и скорость химической реакции () как функцию пространственной координаты — длины реактора.

Модель неизотермического реактора идеального вытеснения с внешним теплообменом, в котором протекает простая необратимая реакция , имеет вид:

где — гидравлический радиус, м.

Модель изотермического реактора идеального вытеснения с распределением концентраций по длине и радиусу имеет вид:

где - соответственно функции распределения концентрации реагента по радиусуна входе в реактор и по длинена оси реактора.

Другим примером может служить изотермический реактор с продольным перемешиванием, в котором протекает необратимая реакция . Математическая модель реактора имеет вид совместной системы, состоящей из обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка и уравнения, выражающего закон действующих масс:

при граничных условиях:

где — коэффициент продольного перемешивания м²ч^-1; — линейная скорость, мч^-1;— длина реактора, м.

Методика составления материального и энергетического балансов стационарных режимов технологических аппаратов и ХТС изложена в учебнике [2].