3.Теоретический раздел.

Описание объекта моделирования, параметры, характеристики и показатели работы.

Система массового обслуживания (СМО) - система, которая производит обслуживание поступающих в неё требований. Обслуживание требований в СМО производится обслуживающими приборами. Классическая СМО содержит от одного до бесконечного числа приборов.

Наиболее легко поддаются анализу СМО с марковскими процессами .

Для того чтобы процесс, протекающий в системе, был марковским, нужно, чтобы все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, были пуассоновскими (потоками без последействия). Для СМО потоки событий — это потоки заявок, потоки «обслуживании» заявок и т. д. Если эти потоки не являются пуассоновскими, математическое описание процессов, происходящих в СМО, становится несравненно более сложным и требует более громоздкого аппарата, доведение которого до аналитических формул удается только в простейших случаях.

Однако, аппарат «марковской» теории массового обслуживания может пригодиться и в том случае, когда процесс, протекающий в СМО, отличен от марковского — с его помощью характеристики эффективности СМО могут быть оценены приближенно. Следует заметить, что чем сложнее СМО, чем больше в ней каналов обслуживания, тем точнее оказываются приближенные формулы, полученные с помощью марковской теории. Следует также заметить, что в ряде случаев для принятия обоснованных решений по управлению работой СМО вовсе и не требуется точного знания всех ее характеристик — зачастую достаточно приближенного, ориентировочного.

Основные классы СМО следующие:

1.Системы с отказами (с потерями). В таких системах заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает «отказ», покидает СМО и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует.

2.Системы с ожиданием (с очередью). В таких системах заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, становится в очередь и ожидает, пока не освободится один из каналов. Когда канал освобождается, одна из заявок, стоящих в очереди, принимается к обслуживанию.

Обслуживание (дисциплина очереди) в системе с ожиданием может быть упорядоченным (заявки обслуживаются в порядке поступления), неупорядоченным (заявки обслуживаются в случайном порядке) или стековым (первой из очереди выбирается последняя заявка). Кроме того, в некоторых СМО применяется так называемое обслуживание с приоритетом, когда некоторые заявки обслуживаются в первую очередь, предпочтительно перед другими. Здесь также различаются системы со статическими и динамическими приоритетами (в последнем случае приоритет может, например, увеличиваться с длительностью ожидания заявки).

Системы с очередью делятся на системы с неограниченным и с ограниченным ожиданием.

В системах с неограниченным ожиданием каждая заявка, поступившая в момент, когда нет свободных каналов, становится в очередь и «терпеливо» ждет освобождения канала, который примет ее к обслуживанию. Любая заявка, поступившая в СМО, рано или поздно будет обслужена.

В системах с ограниченным ожиданием на пребывание заявки в очереди накладываются те или другие ограничения. Эти ограничения могут касаться как длины очереди (числа заявок, одновременно находящихся в очереди — система с ограниченной длиной очереди), так и времени пребывания заявки в очереди (после какого-то срока пребывания в очереди заявка покидает очередь и уходит — система с ограниченным временем ожидания), либо общего времени пребывания заявки в СМО и т. д.

Оценка эффективности СМО.

В зависимости от типа СМО при оценке ее эффективности могут применяться те или другие величины (показатели эффективности). Например, для СМО с отказами одной из важнейших характеристик ее продуктивности является так называемая абсолютная пропускная способность – среднее число заявок, которое может обслужить система за единицу времени.

Наряду с абсолютной часто рассматривается относительная пропускная способность СМО — средняя доля поступивших заявок, обслуживаемая системой (отношение среднего числа заявок, обслуживаемых системой в единицу времени, к среднему числу поступающих за это время заявок).

Помимо абсолютной и относительной пропускной способностей при анализе СМО с отказами нас могут, в зависимости от задачи исследования, интересовать и другие характеристики, например:

- среднее число занятых каналов;

- среднее относительное время простоя системы в целом и отдельного канала и т. д.

СМО с ожиданием имеют несколько другие характеристики. Очевидно, для СМО с неограниченным ожиданием как абсолютная, так и относительная пропускная способность теряют смысл, так как каждая поступившая заявка рано или поздно будет обслужена. Зато для такой СМО весьма важными характеристиками являются:

- среднее число заявок в очереди;

- среднее число заявок в системе (в очереди и под обслуживанием);

- среднее время ожидания заявки в очереди;

- среднее время пребывания заявки в системе (в очереди и под обслуживанием);

и другие характеристики ожидания.

Для СМО с ограниченным ожиданием интерес представляют обе группы характеристик: как абсолютная и относительная пропускная способности, так и характеристики ожидания.

Для анализа процесса, протекающего в СМО, существенно знать основные параметры системы: число каналов М, интенсивность потока заявок , производительность каждого канала (среднее число заявок , обслуживаемое каналом в единицу времени), условия образования очереди (ограничения, если они есть).

В зависимости от значений этих параметров выражаются характеристики эффективности работы СМО.

В этой курсовой работе будем считать все потоки событий, переводящие СМО из состояния в состояние, пуассоновскими.

Описание и расчет характеристик Марковской модели системы

Функционирует система с М=2 и R=20. ~Ex(mean)(4) и ~Beta(min, max, a, b) (0, 10, 0.2, 1.2).

Проанализируем возможные состояния и построим граф:

Количество состояний =M+R+1=23

λ λ λ λ λ λ λ λ

µ 2 µ 2µ 2 µ 2 µ 2 µ 2 µ 2 µ

λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ

2 µ 2 µ 2 µ 2 µ 2 µ 2 µ 2 µ 2 µ 2 µ …....

λ

2 µ

Сост	n	mзанят.	mсв.	r	Рсост
0	0	0	2	0	0,696602
1	1	1	1	0	0,249142
2	2	2	0	0	0,044553
3	3	2	0	1	0,007967
4	4	2	0	2	0,001425
5	5	2	0	3	0,000255
6	6	2	0	4	4,56E-05
7	7	2	0	5	8,15E-06
8	8	2	0	6	1,46E-06
9	9	2	0	7	2,61E-07
10	10	2	0	8	4,66E-08
11	11	2	0	9	8,33E-09
12	12	2	0	10	1,49E-09
13	13	2	0	11	3,01E-16
14	14	2	0	12	9,53E-11
15	15	2	0	13	1,7E-11
16	16	2	0	14	3,05E-12
17	17	2	0	15	5,45E-13
18	18	2	0	16	9,75E-14
19	19	2	0	17	1,74E-14
20	20	2	0	18	3,12E-15
21	21	2	0	19	5,57E-16
22	22	2	0	20	9,97E-17

Pсумм= 1

Найдем и :

λ =1/

λ =1/4.

µ=1/=1/1.43=0.699.

Сосчитаем вероятности:

P0+P1+…+P22=1.

Рассчитаем остальные характеристики:

Pотк=Р22=9,96706E-17; q=1- Pотк=1; A= λ*q=0.25*1=0.25;

зан=0* P0+1* P1+2* P2+2* P3+2* P4+2* P5+2* P6+2* P7+2* P8+2* P9+2*( P10+ P11+ P12+ P13+ P14+ P15+ P16+ P17+ P18+ P19+ P20+ P21+ P22)= 0,357653791;

св=M-зан= 1,642346209;

=0* P0+1* P1+…..+22* P22= 0,369469061;

== 0,011815271; сис=/A= 1,477876246; оч=A= 0,047261082;

обсл= сис - оч= 1,430615163

.

Описание и параметры Simulink-модели системы

Event-Based Random Number – генератор значений τ_sr

Event-Based Random Number1 – генератор значений θ_sr

Time-Based Entity Generator – генератор значений n

выходной порт #d-количество заявок сгенерированных за время моделирования

выходной порт w-среднее время интервала между заявками

FIFO Queue – симулятор очереди с типом обслуживания First-in-first-out(первым пришел, первым обслужен)

выходной порт #d-количество заявок вышедших из очереди за время моделирования

выходной порт w-среднее время пребывания заявки в очереди

выходной порт len-средняя длинна очереди за время моделирования

N-Server – симулятор каналов обслуживания

выходной порт #d-количество заявок обработанных каналами за время моделирования

выходной порт w-среднее время обработки заявки каналом

Entity Sink – «уловитель» заявок, служит для адекватной работы модели (чтобы заявки не «уходили в никуда»)

Scope – симулятор осцилогрофа, служит чтобы графически увидеть изменение величин

Display – служит для вывода количественной характеристики параметра (в цифрах)