4. Изгиб балки

При изгибе стержня, схема нагружения которого дана на рис. 4а, требуется определить внутренние силовые факторы и напряжения во всех его поперечных сечениях и построить их эпюры вдоль оси бруса. Исходя из анализа построенных эпюр напряжений с учётом условия прочности стержня, определить

Рис. 4. Расчётная схема и эпюры внутренних силовых

факторов и напряжений при изгибе стержня

минимально допустимое значение диаметра его круглых сплошных сечений, если известно, что изгибающий момент, сила, длина участка стержня, предел текучести материала стержня, допускаемое значение коэффициента запаса прочности.

Решение

1. Отбрасывая левую и правую опоры балки, заменяем их действие реакциями и(рис. 4а), значения которых находим из условий её равновесия [1]

или ,

или ,

где и- суммы всех моментов относительно, соответственно, точекА и В, действующих на балку. При этом моменты от нагрузок, поворачивающих балку относительно опоры против часовой стрелки берут со знаком «+», а по часовой стрелке – со знаком «-».

Решив полученные уравнения относительно реакций, получаем

,

.

Так как значения иполучились положительными, то их предварительно произвольно выбранные направления оказались верными. В противном случае направления реакций в расчётной схеме меняют на противоположные.

Проверкой правильно найденных значений реакций опор является

или ,

где - сумма проекций на осьвсех сил, включая реакции, действующих на балку. При этом значения сил положительны, если их направление совпадает с направление оси, и отрицательны в противном случае.

2. Используя метод сечений, определяем внутренние силовые факторы во всех поперечных сечениях стержня с учётом следующих правил:

• поперечная сила в сечении балки равна сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил, лежащих по одну сторону от сечения, и считается положительной, если равнодействующая внешних сил слева от сечения направлена снизу вверх, а справа сверху вниз, и отрицательной, если наоборот (рис. 5);

Рис. 5. Правило знаков для поперечных сил в сечениях стержня

• изгибающий момент в сечении балки равен сумме моментов относительно поперечной оси этого сечения всех внешних сил, расположенных по одну сторону от этого сечения, и считается положительным, если равнодействующий момент внешних сил слева от сечения направлен против часовой стрелки, а справа отсечения – по часовой стрелке, в противном случае он берётся отрицательным (рис. 6).

Рис. 6. Правило знаков для изгибающих моментов в сечениях стержня

Разбиваем стержень по длине вдоль оси на 4 характерных участка (поз. 1, 2, 3 и 4 на рис. 4а) с учётом точек приложения нагрузки.

Делаем поперечное сечение стержня в произвольном месте участка 1 с координатой (рис. 4б). Прикладываем в этом сечении поперечную силуи изгибающий момент и определяем их значения с учётом описанных правил

,

.

При этом если значения поперечных сил одинаковы во всех сечениях участка 1 и равны , то значения моментов в сечениях этого участка увеличиваются прямо пропорционально росту координатыи составляют в начале участка, а в конце участка.

Повторяя для остальных участков стержня действия, аналогичные действиям, выполненным для участка 1, имеем:

• для участка 2 (рис. 4в)

,

,

,

;

• для участка 3 (рис. 4г)

,

,

,

;

• для участка 4 (рис. 4д)

,

,

,

.

С учётом полученных значений поперечных сил и изгибающих моментов во всех сечениях стержня на участках 1, 2, 3 и 4 их эпюры вдоль оси стержня имеют вид, представленный на рис. 4е и 4ж.

3. Согласно формуле (3) расчётные значения нормальных напряжений изгиба в сечениях стержня прямо пропорциональны значениям изгибающих моментов в этих сечениях на каждом из рассмотренных участков, следовательно

,

,

,

,

,

,

.

Тогда эпюра напряжений вдоль осистержня будет иметь вид, приведённый на рис. 4з.

4. Из анализа эпюры напряжений (рис. 4з) определяем

.

Подставив полученное значение в условие прочности стержня (6), имеем

.

Тогда минимальное минимально допустимое из условия прочности стержня значение диаметра сечения с учётом заданных численных значений силы , длины , предела текучести материала стержня и коэффициента запаса прочностиможно рассчитать как

5. После определения величины , рассчитываем численные значения усилий и напряжений в поперечных сечениях стержня:

,

,

,

,

,

,

;

,

,

,.