3.Цифровые системы управления.

3.1.Основные обозначения.

- период дискретности,

- дискретное время,

- входное ( программное ) воздействие,

- возмущение,

- выходная ( регулируемая ) координата,

- ошибка,

- управляющее воздействие.

3.2. Математические модели цифровых систем управления.

3.2.1. Основные положения.

Математические модели цифровых систем управления классифицируются в зависимости от вида аргумента. Различают следующие виды математических моделей:

1. временные – аргумент дискретное время

• разностные уравнения;

• переходная характеристика;

• функция веса.

2. операторные – аргумент либо оператор z, либо оператор w

• передаточные функции.

3. частотные – аргумент частота , либо псевдочастота

• частотные характеристики.

3.2.2. Разностные уравнения связи n-порядка между входом и выходом.

Если в непрерывных системах управления основной временной математической моделью является дифференциальное уравнение, основными элементами которого являются производные различных порядков, то в цифровых системах управления основной временной математической моделью является разностное уравнение n-го порядка, элементами которого являются разности различных порядков.

Вид разностного уравнения зависит от способа представления разностей. Различают два способа представления разностей, как эквивалентов производных непрерывной функции:

• прямые ( правые ) разности;

• обратные ( левые ) разности.

В прямых разностях используется строгое понятие производной непрерывной функции, поэтому прямая разность , например первого порядка, в момент определяется по будущему значению решетчатой функции в момент времени. Решетчатая функция - это функция, значения которой определены только в дискретные моменты времени.

Обратная разность, например, первого порядка, определяется по предшествующему значению решетчатой функции в момент времени .

Разность более высокого порядка может быть представлена не только через разности более низкого порядка, но и через значения функции в различные моменты времени.

Таким образом, разностные уравнения n-го порядка в общем случае при одном входном воздействии имеют следующий вид:

• для прямых разностей

• для обратных разностей

В приведенных уравнениях для сокращения записи опущено , то есть по существу принятос. Наибольший порядок разности соответствует наибольшему сдвигу вправо или влево относительно рассматриваемого момента времени.

3.2.3 Система разностных уравнений первого порядка ( система уравнений

параметров состояния ).

Исходным для получения системы разностных уравнений первого порядка, т.е. уравнений параметров состояния цифровой системы управления, может служить разностное уравнение n-го порядка.

Как следует из п.3.2.2 для прямых разностей разностное уравнение n-го порядка имеет вид:

Система разностных уравнений первого порядка получается путем введения следующих переменных, параметров состояния , и имеет следующий вид

В частном случае при

Систему уравнений для параметров состояния обычно представляют в векторно-матричной форме:

В общем виде в удобной форме записи система уравнений параметров состояния имеет вид:

Матрицы ,иимеют определенный смысл, а именно, матрицапредставляет функции веса, матрицапредставляет переходные характеристики. Матрицапредставляет матрицу возмущений.

Для обратных разностей разностное уравнение имеет вид:n-го порядка

В этом случае система разностных уравнений первого порядка получается путем введения следующих переменных, параметров состояния, и имеет следующий вид:

В частном случае при

Систему уравнений для параметров состояния в этом случае также представляют в векторно-матричной форме:

Так же, как и для прямых разностей, для обратных разностей в удобной форме система уравнений параметров состояния имеет вид:

3.2.4.Основные понятия о передаточных функциях цифровых систем управления.

Общие положения.

Передаточные функции являются функциями определенного оператора. В непрерывных системах управления таким оператором является оператор Р. Для анализа и синтеза цифровых систем управления могут применяться две разновидности передаточных функций:

• передаточная функция , аргументом которой является операторz. Эта передаточная функция непосредственно представляет цифровую систему управления;

• передаточная функция , аргументом которой является оператор. Эта передаточная функция представляет непрерывный эквивалент цифровой системы управления.

Связь между операторами передаточных функций устанавливается следующими соотношениями:

Передаточная функция .

Передаточная функция представляет отношениеизображения выходной величины кизображению входной величины. Для получения передаточной функциимогут быть использованы два варианта, в зависимости от того, что является исходным для решения этой задачи:

1. исходным является разностное уравнение связи между входом и выходом;

2. исходной является передаточная функция в непрерывной форме.

В первом случае необходимо найти преобразование левой и правой частей разностного уравнения и найти отношение их изображений. Например, при использовании прямых разностей передаточная функцияв общем случае имеет вид:

Во втором случае для получения передаточной функции по непрерывной передаточной функциинеобходимо передаточную функциюразложить на простые слагаемые, предварительно определив корни ее знаменателя, и затем воспользоваться соответствием изображений по Лапласу иизображений , приведенным в таблице.

Таблица изображений по Лапласу и изображений.

N п/п	Оригинал Непрерывный	Оригинал дискретный	Изображение По Лапласу	изображе- ние
1	2	3	4	5
1			1	1
2
3
4
5
6
7
8
9			Y(p)	Y(z)
10
11	-		-
12

Большинство передаточных функций непрерывной части системы управления содержит запаздывающее звено, а именно

,

где - не содержит элементов запаздывания;

- время запаздывания.

В этом случае для получения цифрового эквивалента непрерывной части удобно воспользоваться соотношением операторов и, предварительно выразив запаздываниечерез период дискретности

где - целое число.

Тогда в соответствии с соотношением для операторов получаем:

После этого необходимо воспользоваться приведенным выше правилом для преобразования к цифровой форме:

.

3.2.5. Передаточные функции устройств связи с объектом управления.

В ряде случаев невозможно непосредственно отнести устройство связи с объектом управления ни к цифровой, ни к непрерывной части системы. Примером таких устройств является фиксирующее звено нулевого порядка, передаточная функция которого содержит оператор и оператор

В этом случае составляющая переносится в дискретную часть системы, а составляющаяв непрерывную часть системы. Таким образом, дискретная форма объекта управления с учетом составляющей устройства связи с объектом управления определяется по соотношению:

Передаточная функция .

Для получения передаточной функции , представляющей непрерывный эквивалент цифровой системы управления, по передаточной функциинеобходимо осуществить в передаточной функциизамену переменнойиспользовав соотношение. После преобразования передаточной функцииможно применить для анализа и синтеза цифровой системы управления методы непрерывных систем управления, используя при этом непрерывный эквивалент цифровой системы управления.

3. 2.6. Передаточные функции цифровых систем управления.

Обобщенная структурная схема системы.

Используя структурные преобразования можно цифровую систему управления любой сложности привести к некоторой обобщенной структурной схеме:

В частном случае может представлять цифровой

В частном случае может представлять цифровой вычислительный комплекс ( регулятор ), апреобразованные в цифровую форму непрерывные элементы системы ( объект управления ) и устройства связи с объектом управления.

Передаточные функции цифровых систем управления.

1) передаточная функция разомкнутой системы

2) передаточные функции замкнутой системы

Вид передаточной функции замкнутой системы зависит от того, что принимается за “выход” и “вход” системы.

3.2.7. Частотные характеристики.

Частотные характеристики получаются при помощи перехода от операторного описания цифровой системы управления к частотному путем соответствующей замены в передаточной функции оператора. При этом операторы заменяются следующим образом:

где -частота,

- псевдочастота.

При переходе в частотную область путем непосредственной замены в передаточной функции оператора z , частотные характеристики цифровых систем управления имеют периодический характер с периодом . Иногда удобно пользоваться при анализе и синтезе цифровых систем управления частотными характеристиками монотонного типа, использовав при этом передаточную функцию, заменив в ней операторна. При этом частотные характеристики являются функциями не истинной частоты, а псевдочастоты. Частотные характеристики в этом случае определяются по правилам определения частотных характеристик непрерывных систем управления. Например, для разомкнутой цифровой системы управления:

; ;

3.2.8. Задачи.

А. Задано: разностное уравнение разомкнутой системы управления

А1.;A2.

A3.; А4.

А5. А6.

А7. А8.

А9. А10.

А11.А12.

А13. А14.

А15. А16.

А17. А18.

А19. А20.

Определить:

• передаточную функцию разомкнутой системы и передаточные функции замкнутой системы

• разностное уравнение замкнутой системы;

• уравнение параметров состояния замкнутой системы;

• непрерывный эквивалент разомкнутой цифровой системы управления ;

• частотные характеристики разомкнутой системы в функции псевдочастоты .

Б. Задано: передаточная функция непрерывной части системы управления.

Б1.; Б2.

Б3.; Б4.

Определить: передаточную функцию для случаев.

В. Задано: Передаточная функция непрерывной части системы управления. Устройство связи с объектом управления – фиксирующее звено нулевого порядка.

В1. ; В2.; В3.; В4.;

В5. В6.В7.;

В8.

Определить эквивалентную передаточную функцию в цифровой форме