Формули і тотожності алгебри логіки

Кожне висловлювання логіки, утворене з даних простих висловлювань за допомогою логічних операцій, називають формулою алгебри логіки.

Символи змінних А, В, Х₁, Х₂ … вважають формулами ___________ нуль. Формулами є і вирази виду Ā, АВ, A V B, . . .

Розглянуті логічні функції на основі принципу суперпозиції дають змогу будувати нові функції. Фактично суперпозиція полягає в підставленні замість аргументів інщих логічних функцій (зокрема аргументів). Формули можуть містити дужки, що вказують на послідовність виконуваних операцій.

____

АВ, ((A V B)~С)(((AB)С)С)

Операція суперпозиції допомагає побачити якісний перехід від кількості аргументів n=1 до n=2. Справді, суперпозиція функцій одного аргументу породжує функції одного аргументу. Суперпозиція функцій двох аргументів дає змогу побудувати функції з будь-якою кількістю аргументів.

Дві різні формули, котрі задають одну і ту ж саму істинну функцію, називають рівносильними. Відношення рівносильності позначають символом “≡”. _

((АВ)~С) V ((BС)A) ≡ A V С

Таким чином формули рівносильні, коли їх значення істинності за будь-якого набору значень істинності змінних, що їх містять, збігаються. Відношення рівносильності має властивості рефлективності, симетричності і транзитивності.

Побудова таблиць істинності для різних формул і порівняння цих таблиць завжди дає змогу з’ясувати, чи є розглядувані формули рівносильні. Проте, такий метод 22 ⁿ обчислень (коли вважати, що обидві формули залежать від n змінних, а тому дуже громіздкий). Тому для з’ясування рівносильності формул, перетворення й одержання нових формул доцільніше застосовувати закони, властивості і тотожності алгебри логіки, справджуваність яких можна перевірити за допомогою таблиці істинності.

Основні закони і тотожності алгебри логіки.

1. Властивості заперечення:

А V Ā ≡ 1

А  Ā ≡ 0

2. Властивості констант:

А0 ≡ 0, А1 ≡ А, А V 0 ≡А, А V 1 ≡1

3. Властивості комутативності:

АВ ≡ ВА, А V В ≡ В V А

4. Властивості асоціативності:

(АВ) С ≡ А(ВС), (А V В) V С ≡ А V (В V С)

5. Властивості дистрибутивності:

А(В V С) ≡ (АВ) V (AС), А V (ВС) ≡ (А V В)(A V С)

6. Властивості “поглинання”:

А(А V В) ≡ А, А V (АВ) ≡ А

7. Властивості склеювання:

___ ___

(АВ) V (АВ) ≡ А, (А V В)(А V В) ≡ А

8. Закон подвійного заперечення:

__

Ā ≡ А.

9. Закони іденпотентності:

АА ≡ А, А V А ≡ А.

10. Закони де Моргана

________ __ __ ________ __ __

А V В ≡ АВ, А  В ≡ А V В.

11. Закон тотожності:

АА ≡ 1.

12. Закон суперечності:

________

А  Ā ≡ 1.

13. Закон виключення третього:

А V Ā ≡ 1.

14. Закон подвійного заперечення:

__

Ā ~ А≡ 1.

Перетворення формули, які дають змогу, використовуючи рівносильні співвідношення, отримувати інші формули, еквівалентні даній, називаються еквівалентними. Такі перетворення є ефективним засобом доведення рівносильності формул.

Бульова алгебра і форми зображення логічних функцій.

Сукупність логічних операцій називають функціонально повною, коли вона дає змогу будь-яку логічну функцію зобразити формулою.

Строго доведено, що сукупність операцій ר, &, V, (інверсія, кон’юкція і диз’юкція) — функціонально повна система логічних операцій. Це означає, що кожну формулу, яка містить будь-які догічні операції, можна за допомогою рівносильних пертворень звести до вигляду, коли вона містить тільки операції ר, &, V.

Функція, котра залежить від n змінних, і кожен з її аргументів набуває значень тільки з множини {0,1}, називається бульовою.

Множина всіх бульових функцій разом з операціями ר, &, V, утворюють бульову алгебру. Базисну систему логічних функцій також утворюють (ר, V,), ( | ), ().

Використовуючи властивості, закони алгебри логіки, будь-яку формулу можна перетворити, звівши до відповідного вигляду, як правило до деякого стандартного — диз’юктивної чи кон’юктивної нормальних форм.

Диз’юктивна нормальна форма (ДНФ) — це диз’юнкція скінченної кількості різних членів, кожен з яких являє собою кон’юкцію окремих змінних, котрі даний член формули містить не більше ніж один раз.

Елементарною кон’юкцією називають кон’юкцію скінченної кількості не схожих одна на одну бульових змінних, кожна з яких може мати заперечення чи не мати його.

ДНФ – це формула, яка має вигляд диз’юнкції елементарних кон’юкцій:

__ __ __ __ __

xz V yz V xy ≡ xzV yz V xyz V xyz ≡ xz V xyz V yz V xyz ≡

__ __

≡ xz(1 V y) V yz (1 V x) ≡ xz V yz.

Як бачимо логічна функція може мати не єдину ДНФ.

Кон’юктивна нормальна форма (КНФ) — кон’юкція скінченної кількості різних членів, кожен з яких являє собою диз’юнкцію окремих змінних чи їх заперечень, котрі даний член містить не більше ніж один раз.

__ __ __

(x V y) (x V y V z)

розгянемо приклад зведення деякої логічної функції до ДНФ та КНФ:

___

(xy V yz)xv ≡ (xy V yz)(x V v) ≡ (xy V yz)x V (xy V yz)v ≡

xy V xyz V xyv V yzv – ДНФ

__ __ __ __ __ __ __

(xy V yz)xv ≡ (xy V yz)(x V v) ≡ (x V yz)(y V yz)  (x V v) ≡

(x V y)(x V z)(y V y)(y V z)(x V v) ≡ (x V y)(x V z)(y V z)(x V v) –КНФ

Члени ДНФ (КНФ), котрі являють собою елементарні кон’юкції (диз’юнкції) К літер, називають мінітермами (макстермами) k-го рангу. Так ху–мінітермдругого рангу, xyz–мінітерм третього рангу, а x V y – макстерм другого рангу.