Логічні функції та операції.

Особливість логічних функцій полягає в тому, що вони набувають значень у скінченних множинах. По іншому кажучи логічні функції мають справу із скінченною сукупністю чисел, символів, понять, властивостей, будь-яких об’єктів взагалі.

Алгебру, що її утворила множина М разом зі всіма можливими операціями на ній називають алгеброю логіки.

Алгебру, утворену двоелементною множиною М разом зі всіма операціями на ній, називають двозначною алгеброю логіки.

Функцією алгебри логіки (або логічною функцією) від n змінних називають n-парну операцію на множині М.

Кожну логічну функцію n аргументів можна задати у вигляді таблиці ітсинності 1, у лівій частині якої зазначено всі 2ⁿ наборів значень змінних (коли М={0,1}), а в правій частині – значення функцій на цих наборах.

А1	А2	...	А n-1	A n	F
0	0	...	0	0	1
0	0	...	0	1	0
...	...	...	...	...	...
1	1	...	1	1	0

Кількість різних функцій в алгебрі логіки від

• n змінних може дорівнювати ,

• для одної —= 4,

• двох —=2⁴=16,

• трьох — =2⁸ =256

• для n=5 кількість функцій перевищує 4 млрд

А	F1	F2	F3	F4
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1

Функції однієї та двох змінних можна перелічити та добре дослідити.

1. Логічне відношення ствердження (повторення) описує функція, яка повторює значення свого аргументу. Це функція однієї змінної.

F=F₂(A) =A.

2. Логічне запереченя (інверсія) — це функція F₃ ,однієї змінної, яка набуває значення “1”, коли А=0, і значення “0”, коли А=1. Позначають символом ר або рискою над змінною (Ā):

F=F₃(A) =רA=Ā.

3. Диз’юнкція (логічне додавання). Бінарна операція сполучення висловлювань А і В за допомогою сполучника “або” (вжитого в невідокремленому розумінні – хоча б одне з двох) називають логічною сумою. Диз’юнкція — це функція, що набуває значення “0” тоді і тільки тоді, коли обидві змінні мають це значення. Її позначають символом “V” (+) і читають А або В.

F=F(A,B)=A V B=А+В

А і В — диз’юктивні члени логічної суми.

4. Кон’юкція (логічне множення) — бінарна операція сполучення висловлювань А і В за допомогою сполучника “і”. Одержане в результаті такого множення складне висловлювання називають логічним добутком. Кон’юкція набуває значеня “1” тоді і тільки тоді, коли обидві змінні мають значення “1”. Кон’юкцію позначають символом & (або , ) і читають “А і В”

F=F(A,B)==A & B=A  B=AB

Де А і В — кон’юктивні члени логічного добутку.

5. Імплікація (слідування) — бінарна операція, що з висловлювань Аі В утворює складне висловлювання, яке істинне завжди, крім того випадку, коли А – “істинне”, а В – “хибне”. Імплікація відповідає функції, яка набуває значення “0” тоді і тільки тоді, коли А (назв. Засновником – антецедентом) дорівнює “1”, а В (назв. Наслідком-консеквентом) має значення “0”. Імплікацію позначають символом “”. Висловлювання АВ слід читати “А імплікує В”:

F=F(A,B)=AB

6. Еквіваленція (рівнозначність) — бінарна операція, що її позначають ~ () – істинна тоді і тільки тоді, коли А і В або обидва істинні, або обидва хибні.

F=F(A,B)=A~B=AB

7. Нерівнозначність (додавання за модулем 2) позначають © А©В – істинне тоді і тільки тоді, коли А і В різні за значенням істинності.

8. Штрих Шеффера (логічне “ не і ”):

F(A,B)= А | B

Істинне завжди, крім того випадку, коли А і В істинні.

9. Стрілка Пірса. (логічне “не-або”):

F(A,B)=AB

Хибне завжди, крім того випадку, коли А і В – хибні.

А	В	Ā	АВ	A V B	AB	A~B	А©В	А | B	AB
0	0	1	0	0	1	1	0	1	1
0	1	1	0	1	1	0	1	1	0
1	0	0	0	1	0	0	1	1	0
1	1	0	1	1	1	1	0	0	0