Графи і бінарні відношення

Нагадаємо, що бінарним відношенням на множині називається будь-яка підмножина множини , що складається зі всіх можливих впорядкованих пар елементів . Кожному такому відношенню можна поставити у відповідність граф відношення . Порівнюючи з тим, що говорилося вище про визначення різних типів графів, бачимо, що поняття бінарного відношення еквівалентне поняттю орієнтованого графа з петлями. Інші типи графів без кратних ребер – це часткові види бінарних відношень. Відношення називається рефлексією, якщо для будь-якого пара належить і антирефлексивним, якщо жодна така пара не належить . Відношення називається симетричним, якщо з витікає, що . У графі антирефлексивного і симетричного відношення немає петель і для кожної пари вершин або немає жодного, або є два ребра, що сполучають ці вершини. Якщо в такому графові кожну пару орієнтованих ребер, що сполучають одні і ті ж дві вершини, замінити одним неорієнтованим ребром, то вийде звичайний граф.

Звідки беруться графи

Легко знайти приклади графів в самих різних областях науки і практики. Мережа доріг, трубопроводів, електричне коло, структурна формула хімічної сполуки, блок-схема програми – в цих випадках графи виникають природно і видимі "неозброєним оком". За бажання графи можна виявити практично де завгодно. Це наочно показано в книзі Д.Кнута [D.E.Knuth, "The Stanford GraphBase"] – графи витягуються з роману "Ганна Кареніна", з картини Леонардо да Вінчі, з матеріалів Бюро Економічного Аналізу США і з інших джерел.

Немало приводів для появи графів і в самій математиці. Найбільш очевидний приклад – будь-який многогранник в тривимірному просторі. Вершини і ребра многогранника можна розглядати як вершини і ребра графа. При цьому ми відволікаємося від того, як розташовані елементи многогранника в просторі, залишаючи лише інформацію про те, які вершини сполучені ребрами. На рис. 1.4 показано три способи зобразити один і той же граф тривимірного куба.

Рис. 1.4.

Ще один спосіб утворення графів з геометричних об'єктів ілюструє рис. 1.5. Зліва показано шість кругів на площині, а справа – граф, в якому кожна вершина відповідає одному з цих кругів і дві вершини сполучено ребром в тому і лише тому випадку, коли відповідні круги перетинаються. Такі графи називають графами перетинів. Можна побудувати граф перетинів сімейства інтервалів на прямій, або дуг кола, або паралелепіпедів. Взагалі, для будь-якого сімейства множин можна побудувати граф перетинів з множиною вершин ,у якому ребро є тоді і тільки тоді, коли та. Відомо, що будь-який граф можна представити як граф перетинів деякого сімейства множин.

Рис. 1.5.

Число графів

Візьмемо яку-небудь множину , що складається зелементів, і розглядатимемо всі можливі (звичайні!) графи з множиною вершин. Позначимо число таких графів через. Ці графи відрізняються тільки множиною ребер, а кожне ребро – це невпорядкована пара різних елементів з. У комбінаториці такі пари називаються поєднаннями зпо 2, їх число рівне.

Кожна пара може бути включена або не включена в множину ребер графа. Застосовуючи правило добутку, приходимо до наступного результату:

Теорема 1. .