Соотношение неопределенностей Гейзенберга3

Наличие противоречий при рассмотрении движения микрочастиц потребовало фундаментального изменения в основных классических представлениях и законах. Наличие волновых свойств у частиц должно накладывать определенные ограничения на применимость по отношению к ним понятий классической физики: импульс, координата, траектория. В пользу этого утверждения можно привести следующие аргументы:

1. В соответствии с гипотезой Де Бройля импульс зависит только от длины волны : , а в классическом случае должно зависеть от(фазовая траектория).

2. Из предыдущей лекции известно, что ширина волнового пакетаи интервал волновых чиселтребуемых для его представления в виде суперпозиции гармонических волн связаны соотношением:. Умножив левую и правую часть наи воспользовавшись гипотезой Де Бройля получим:

Здесь под будем подразумевать область пространства, в котором локализована частица,—разброс значений (погрешность) импульса частицы.

3. Оценим неточность (погрешность) при определении координаты и импульса частицы при прохождении через щель ширины (Рис.2.1).Будем полагать, что слева на щель падает моноэнергетический пучок электронов с импульсом(,—координата является совершенно неопределенной). В момент прохождения щели координата частиц вдоль осиизвестна с ошибкой, что достигается ценой утраты определенности. Действительно, при наличии волновых свойств у электронов, на экране будет наблюдаться система дифракционных полос (в отличие от одной полосы шириныв классическом случае). Направления на дифракционные минимумы определяются по формуле. Таким образом, размер изображения щели на экране (определяемый направлением на первый дифракционный минимум) будет больше ширины щели, что возможно в случае, если частицы после щели имеют компоненту импульса вдоль. Обозначиммаксимальное значение компоненты импульса при движении электрона в направлении первого дифракционного минимума. По физическому смыслуопределяет погрешность в определении-компоненты импульса после прохождения частиц через щель. Тогда получим:

Таким образом, видно, что попытка точно определить координату приводит к появлению дополнительного импульса вдоль оси. В данном случае также понятно, чтокоордината частицы оказывается неопределенной, затоизвестна точно. При измерении координаты квантового объекта мы неизбежно сбиваем его с курса, теряя при этом информацию о направлении его движения и фазе.

Вывод: произведение погрешностей в определении координат и соответствующих импульсов . Это означает, что при уменьшении погрешности (увеличении точности измерений) в определении координатымы увеличиваем погрешность при определении импульса. Таким образом, процесс воздействия измерения на исследуемый объект (в отличие от классической физики) нельзя сделать сколь угодно малым: чем точнее измерение тем сильнее его воздействие. С точки зрения квантовой механики, процесс измерения заключается в следующем: физический прибор, подчиняющейся законам классической физики, взаимодействует с квантово-механическим объектом. До взаимодействия прибор и объект находятся в своих состояниях, которые в результате взаимодействия изменяются. По характеру и величине изменения состояния прибора (которые определяются по его показаниям) можно судить о состоянии объекта до взаимодействия. Нетрудно видеть, что изменение состояния объекта в процессе измерения приводит к невоспроизводимости результатов эксперимента: если мы при первом измерении величиныопределили что она равна, и сразу же после этого, произвели ее повторное измерение, то полученное значение, уже не будет совпадать с результатом первого эксперимента. Таким образом, в самой природе процесса измерения заложена необратимость (стрела времени)—различие между прошлым и будущим. По отношению к прошлому оно “верифицирует” (проверяет) вероятности различных возможных состояний, а по отношению к будущему создает новое состояние.

Таким образом, из , следует вывод о невозможности одновременного сколь угодно точного определения импульса и соответствующей координаты частицы. А это означает, что в общем случае движение частицы нельзя представить в виде фазовой траектории.

Более точные квантово механические расчеты показали, что должны выполнятся соотношения

, ,

где – имеют смысл среднеквадратичных отклонений координат и импульсов от их средних значений (или стандартных отклонений координат и импульсов от их математических ожиданий) приодновременном определении импульсов и координат (их часто называют неопределенностями соответствующих физических величин). В эксперименте неопределенности—среднеквадратичные ошибки выборочного среднего.

Однако можно заметить, что при наблюдениях в пузырьковой камере (а также при движении электронов в электронно-лучевой трубке) явно видны треки (траектории) частиц. Почему же тогда траектория микрочастицы не должна существовать? Дело в том, что при попадании электрона в пузырьковую камеру диаметр наблюдаемых пузырьков воздуха (м) обозначающих траекторию движения оказывается значительно больше размера атома (неопределенность координаты порядка радиуса пузырька). Это означает, что движение происходит в области пространства, которая значительно превышает размеры микрочастицы (м) и говорить о траектории частицы в строгом смысле слова не совсем корректно. Однако с практической точки зрения можно полагать, что электрон движется по траектории.

Оценим неопределенность координатыэлектрона в электронно-лучевой трубке, если ось направлена параллельно экрану. Найдем неопределенность импульса , полагая что ширина электронного луча равна диаметрузерна на экране монитора (или телевизора) с электронно-лучевой трубкой длиныи ускоряющим напряжением:мкгм/с.

Тогда

кгм/с,м

Таким образом, хотя неопределенность координаты с практической точки зрения оказывается достаточно малой (что и позволяет рассчитывать траекторию), однако она все же значительно больше размера электрона.

Кроме , существует еще одно соотношение (имеющее несколько отличающийся смысл):

Соотношения и называются соотношениями неопределенностей Гейзенберга.

Соотношение имеет две интерпретации:

1. Если система находится в стационарном состоянии, то энергию системы можно измерить лишь с точностью , где—длительность процесса измерения. Причиной этого является взаимодействие системы с измерительным прибором. Энергию взаимодействия можно учесть лишь с точностью до.

2. –неопределенность значения энергии нестационарного состояния замкнутой системы, —характерное время, в течении которого существенно меняются средние значения физических величин в этой системе. В этом случае соотношение приводит следующим выводам:

1. О возможности нарушения закона сохранения энергии на величину в течении времени. Например: если в моментчастица не существовала и ее энергия в вакууме равнялась нулю, затем она появилась, а в момент, когда она исчезла. Тогда из следует, что в течениивозможно нарушение закона сохранения энергии на величину, которая определяет энергию родившейся и затем исчезнувшей частицы (точнее пары­: частица–античастица). С этой точки зрения вакуум не является пустотой: в нем постоянно происходят процессы рождения и уничтожения частиц. Такие частицы называются виртуальными и не поддаются непосредственному наблюдению, однако проявляются себя косвенным образом (например, вокруг электрона в вакууме образуется облако виртуальных позитронов, которые экранируют его заряд). Эксперимент с двумя пластинками в вакууме подтверждает этот вывод. Виртуальные частицы играют особую роль в теоретической физике: они являются переносчиками взаимодействий. В космологии появление виртуальных частиц вблизи черной дыры приводит к выводу об её излучении и испарении.

2. Если – время жизни частицы на энергетическом уровне с энергией(например, атом в возбужденном состоянии),—энергия основного состояния для которого, тогда– ширина возбужденного уровня. Т.е., энергии возбужденных уровней не могут быть строго определенными. Аналогично можно получить величину энергетического разброса испускаемых альфа частиц при альфа-распаде.

Соотношение неопределенностей —фундаментальный принцип квантовой механики, который устанавливает содержание и структуру ее математического аппарата. Многие задачи квантовой механики могут быть оценены и поняты на основе комбинации законов классической механики с соотношением неопределенностей. В связи с этим рассмотрим задачу об устойчивости атома водорода. В соответствии со вторым законом Ньютона на электрон, движущийся по круговой орбите с центростремительным ускорением , действует сила Кулона:

.

Если допустить неопределенность координаты электрона в пределах половины радиуса орбиты , а неопределенность скорости в пределах скорости, тогда из соотношения неопределенностей Гейзенберга следует:

Подставив в значение скорости из получим

м,

Следовательно, движение электрона по орбите с (—радиус Бора) невозможно, электрон не может упасть на ядро—атом устойчив.