Свойства волн Де Бройля

Таки образом, большое число экспериментальных работ подтверждало гипотезу Де-Бройля. Однако здесь возник ряд проблем теоретического плана, которые связаны со свойствами волн Де-Бройля. Необходимо было ответить на вопрос: «С движением частицы связана монохроматическая волна или волновой пакет?».

1. Покажем, что фазовая скорость волны Де-Бройля больше скорости света в вакууме (что противоречит постулату о предельной скорости в СТО):

Отсюда следует вывод: движение частицы не может быть связано с монохроматической волной Де-Бройля. Тогда возникла идея ассоциировать частицу не с монохроматической волной, а с движением волнового пакета, длина которого ~м (диаметра микрочастицы). В этом случае групповая скорость пакета должна быть равна скорости частицы.

2. Определим групповую скорость волн Де-Бройля.

Из видно, что групповая скорость волнового пакета действительно совпадает со скоростью частицы. Однако известно, что для того, чтобы волновой пакет сохранял свою форму, фазовые скорости всех волн составляющих пакет должны быть одинаковы (в противном случае имеет место явление дисперсии и связанное с ним размазывание волнового пакета (Рис.1.3))

3. Оказывается, что для волн Де-Бройля имеет место явление дисперсии даже в вакууме—зависимость фазовой скорости от волнового числа (длины волны). Рассмотрим общий случай

Из видно, что с увеличением длины волны фазовая скорость увеличивается. Это означает, что форма волнового дебройлевского пакета с течением времени будет изменяться (Рис.1.3). Следовательно, дисперсия «портит» волновой пакет Де-Бройля. Оценку времени деформации волнового пакета произведем, используя формулу

,

где —начальная ширина волнового пакета. Из найдем

.

Найдем используя соотношение

Для упрощения расчетов воспользуемся нерелятивистской формулой для энергии ()

В этом случае

Из математики известно, что используя интеграл Фурье можно локализованное возмущение ширины представить в виде волнового пакета (т.е. совокупности гармонических волн ). В этом пакете должны присутствовать гармонические волны с волновыми числами, лежащими в диапазоне. Тогда вблизи некоторой точки, все амплитуды гармоник сложатся, а вдали от нее будут гасить друг друга из-за большого разнобоя в фазах. При этом интервал волновых чисели ширина пакета связаны соотношением:

Подставив в получим

Оценим время, за которое размер электрона увеличится в 10 раз ()

Из результатов расчета видно, что представление электрона в виде волнового пакета оказывается несостоятельным.

Таким образом, возникла следующая ситуация: дифракционная картина в экспериментах хорошо рассчитывается в предположении, что частица —монохроматическая волна Де-Бройля; однако скорость такой волны противоречит СТО и не совпадает со скоростью частицы. Если же частица—волновой пакет, то его скорость в точности совпадает со скоростью частицы, однако он быстро размазывается по пространству и представляемая им частица должна исчезнуть, растворившись в вакууме. Отсюда следует вывод: классические представления о волне не применимы в полной мере при анализе волновой природы микрочастиц. С уверенностью можно только утверждать, что частица обладает некоторыми волновыми свойствами. С точки зрения классической физики, одновременное наличие у частицы взаимоисключающих свойств (волны и частицы) было абсурдом. Этот парадокс получил название корпускулярно-волнового дуализма.