§3. Абсолютна та умовна збіжність ряду.

1. Якщо серед членів деякого числового ряду є як додатні, так і від’ємні числа (причому і тих і інших необмежена кількість), то такий ряд називають знакозмінним.

2. Знакозмінний ряд називають абсолютно збіжним, якщо ряд, складений з абсолютних величин членів цього ряду, збіжний. Тобто ряд

абсолютно збіжний, якщо ряд

збіжний.

3. Знакозмінний ряд називають умовно збіжним, якщо він збіжний, а сам ряд, складений з абсолютних величин членів цього ряду, розбіжний. Тобто ряд

умовно збіжний, якщо він збіжний, а ряд

розбіжний.

4. Властивості абсолютно збіжних рядів:

1. Якщо знакозмінний ряд абсолютно збіжний і має суму S, то ряд, отриманий з нього будь-якою перестановкою скінченного чи нескінченного числа членів, теж абсолютно збіжний і має суму S.

2. Якщо знакозмінні ряди

абсолютно збіжні і мають суми відповідно , то ряд, складений з попарних алгебраїчних сум членів цих рядів, взятих в будь-якому порядку , теж абсолютно збіжний і має суму .

5. Зауваження. Наведені в п.4 властивості не стосуються умовно збіжних рядів.

Приклад 1. Покажемо, що сума умовно збіжного ряду залежить від порядку його членів.

Ряд

умовно збіжний (див. §4, приклад 1). Нехай сума цього ряду S (можна довести, що ).

Переставимо члени ряду так, щоб за кожним додатнім членом ряду слідували два, не записані раніше, від’ємні члени ряду. В результаті цього отримаємо такий ряд:

Згрупувавши члени цього ряду, матимемо:

Отже від перестановки членів цього умовно збіжного ряду його сума зменшилася вдвічі.

Приклад 2. Дослідити на збіжність знакозмінний ряд:

Якщо ряд збіжний, то встановити характер збіжності (абсолютна чи умовна) і знайти його суму.

Розв’язання. Додатні члени ряду (1) утворюють геометричну прогресію з пешим членом і знаменником . Отже, вони утворюють абсолютно збіжний ряд , сума якого .

Від’ємні члени ряду (1) утворюють геометричну прогресію з першим членом і знаменником . Отже, вони утворюють абсолютно збіжний ряд, сумою якого буде .

За властивістю абсолютно збіжних рядів (див. п. 4(2)), ряд (1) абсолютно збіжний і його сума .

§4. Ряд, знаки членів якого чергуються.

1. Знакозмінний ряд називають рядом, знаки членів якого чергуються, якщо будь-які двох сусідніх члени цього ряду мають протилежні знаки. Ряд, знаки членів якого чергуються, можна записати так:

де — додатні числа.

2. Теорема Лейбніца. Якщо члени ряду (1) за абсолютною величиною монотонно спадають і

то ряд (1) збіжний, і його сума за абсолютною величиною не перевищує абсолютної величини першого члена.

Наслідок. Якщо ряд задовольняє умови теореми Лейбніца і його суму S замінити n-ю частковою сумою , тобто відкинути залишок , то абсолютна величина отриманої похибки не перевищуватиме абсолютної величини першого відкинутого члена .

Приклад 1. Дослідити на збіжність ряд:

Розв’язання. Ряд (2) задовольняє умови теореми Лейбніца. Дійсно:

1. Він є рядом, знаки членів якого передуються;

2. Його члени за абсолютною величиною монотонно спадають, бо

3)

Отже за теоремою Лейбніца , заданий ряд збіжний і абсолютна величина його суми

Ряд, складений з абсолютних величин членів ряду (2) буде гармонійним рядом

який розбіжний. Тому ряд (2) є умовно збіжним.

Приклад 2. Обчислити з точністю до 0,01 суму ряду :

Розв’язання. Ряд (3) задовольняє умови теореми Лейбніца. Дійсно :

1. Він є рядом, знаки членів якого чергуються;

2. Його члени за абсолютною величиною монотонно спадають, бо

3)

Легко бачити, що .

За наслідком теореми Лейбніца (див. п.2), відкинувши всі члени ряду, починаючи з п’ятого, ми отримаємо похибку, яка менша , а тому менша і 0,01.

Отже, з точністю до 0,01: