Метод гармонійної лінеаризації (гармонійного балансу)

Метод використовується для дослідження автоколивань (частоти, амплітуди, стійкості) в нелінійних системах високого порядку.

За кордоном цей метод називають методом описуючої функції. Цей метод наближений, але дає достатню точність дослідження параметрів автоколивань та якості перехідних процесів для нелінійних систем, що мають достатньо інерційну лінійну частину, котру можна розглядати як фільтр першої гармоніки. Він із усього спектрального складу сигналу на виході нелінійного елемента пропускає лише першу гармоніку, другу, третю та всі вищі – пригнічує (гіпотеза фільтра низьких частот). Вищі гармоніки залишаються, але малої амплітуди. Отже, нелінійна функція u = F(e) при e = А sin wt замінюється еквівалентною лінійною з точністю до вищих гармонік. Розглянемо це.

Рис. 3. Ідеальне реле

Якщо на вхід нелінійного елемента (НЕ) подається гармонійна дія , то на виході НЕ отримаємо сигнал u = F(e)=, наприклад, прямокутні імпульси. Їх можна розкласти в ряд Фур’є.

Якщо лінійна частина нелінійної системи є фільтром низьких частот (ФНЧ), то на виході системи сигналe буде дорівнювати першій гармоніці , декоефіцієнт першої гармоніки ряду Фур’є:

Це для неоднозначних (гістерезисних) симетричних нелінійностей. Для однозначних (безгістерезисних) нелінійностей .

Тому в такій САК можна розглядати, що на виході нелінійного елемента існує лише перша гармоніка сигналу, тобто u »:

де – амплітуда першої гармоніки;

–зсув фази першої гармоніки вихідного сигналу відносно вхідного сигналу e.

Запишемо комплексне зображення вхідної і вихідної (першої гармоніки) величин нелінійного елемента:

Відношення комплексних зображень першої гармоніки вихідного сигналу до вхідного називається еквівалентним комплексним коефіцієнтом підсилення нелінійного елемента (гармонічною передавальною функцією):

де – коефіцієнти гармонійної лінеаризації.

Таким чином, гармонійна лінеаризація полягає у заміні нелінійного елемента u = F(e), еквівалентним лінійним, що здійснює таке ж перетворення гармонійного вхідного сигналу, як і нелінійний елемент.

Методика визначення еквівалентної комплексної передаточної функції не

Розглянемо її на прикладі статичної характеристики ідеального реле (рис.3). При присутності на вході ідеального реле гармонійного сигналу на виході існує послідовність прямокутних імпульсів. Вихідний сигнал ідеального реле є непарною функцією (симетрія ІІ роду), а отже, коефіцієнт Фур’є, а

Еквівалентні комплексні передаточні функції інших нелінійних елементів визначаються аналогічно. Коефіцієнти гармонійної лінеаризації зведені до таблиць. Розглянемо найпоширеніші.

Таблиця коефіцієнтів гармонійної лінеаризації

Назва нелінійності	Коефіцієнти гармонійної лінеаризації
Зона нечутливості
Обмеження за вихідною величиною
Релейна з гістерезисом
Релейна із зоною нечутливості та гістерезисом
Люфт або зазор

Як видно із таблиці, для непарних однозначних нелінійностей розкладання в ряд Фур’є не має косінусів, тому Коефіцієнтвизначає гармонічну складову, що збігається за фазою з вхідним сигналом, а коефіцієнт– складову, що зсунуто по фазі на. Якщо нелінійність неоднозначна, тоДля неоднозначних нелінійностей з від’ємним гістерезисом коефіцієнтвід’ємний. Він визначає складову вихідного сигналу, що запізнюється за фазою на кут(при зміні знака вхідного сигналу вихідний сигнал переходить з однієї гілки статичної характеристики на іншу і тим створює запізнювання вихідного сигналу відносно вхідного.

Алгоритм дослідження нелінійних систем методом гармонічної лінеаризації

Перетворюємо алгоритмічну схему так, щоб НЕ і лінійна частина були включені послідовно.

Рис 4.

с – параметр нелінійного елемента;

А – амплітуда гармонійного коливання

Нелінійний елемент заміняється лінійним . Комплексна передавальна функція розімкненої САК тоді буде:, де– нормований параметром нелінійності (рис 4) комплексний передаточний коефіцієнт нелінійного елементу (гармонічна передаточна функція нелінійного елементу).

Припускаємо, що замкнена нелінійна система знаходиться на межі стійкості і в ній є незатухаючі коливання. Тоді відповідно до критерію Найквіста АФЧХ розімкненої системи повинна проходити через точку (-1; j0). Звідки випливає умова існування коливань у замкненій системі:

,

де – нормований множник.

або

.

Тепер у показниковій формі

звідки випливають дві умови існування коливань у замкненій системі: коливання існують, якщо виконуються умови баланса фаз і амплітуд на одній і тій же частоті.

• умова балансу амплітуд

;

• умова балансу фаз

;

або у логарифмічній формі

Умова (1) – виконується при перетині ЛАЧХ лінійної частини і НЕ.

Умова (2) – при перетині їх фазових характеристик.

Автоколивання можливі, якщо точка перетину амплітудних та фазових характеристик відповідає одній і тій же частоті. Вони можуть існувати у замкненій САК навіть за відсутності будь-якої вхідної дії.