Неперервність обернених тригонометричних функцій

Міркуючи аналогічно до попереднього пункту, дістаємо неперервність обернених тригонометричних функцій y=arcsin x, y=arccos x, y=arctg x, y=arcctg x на області визначення кожної з них як обернених до тригонометричних функцій y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x, неперервність яких було доведено раніше.

Неперервність степеневої функції

Ми вже зазначали, доводячи неперервність раціональних функцій, що при натуральному функція неперервна при . Якщо - ціле від’ємне число, то, поклавши , матимемо: . Оскільки функція неперервна і перетворюється на нуль лише при , то функція неперервна в усіх точках, крім , як частка неперервних функцій.

Аналогічно, розглядаючи всі можливі припущення щодо , можна довести, що степенева функція неперервна в усіх точка області визначення.

Розглянемо тільки випадок, коли , де - ірраціональне число. У цьому випадку функція визначена при . Запишемо у вигляді , де . Оскільки, як було доведено, - неперервна функція при , то за теоремою про неперервність складеної функції дістаємо, що є неперервною функцією при .

13

Класифікація точок розриву

Означення: Точка називається точкою розриву першого роду функції , якщо функція в точці не є неперервною.

Розриви першого роду: Точка називається точкою розриву першого роду функції , якщо функція в точці має скінченні, але не рівні між собою праву і ліву границю:

Наприклад, для функції x точка є точкою розриву першого роду, оскільки x=1,x=-1.

Розриви другого роду: Точка називається точкою розриву другого роду функції , якщо функція в точці не має хоча б однієї з односторонніх границь або хоча б одна з односторонніх границь нескінченна.

Наприклад, для функції точка є точкою розриву другого роду, оскільки . Можна навести й інший приклад. Раніше було встановлено, що функція Дирихле не є неперервною в будь-якій точці числової прямої і не має границі в кожній точці . Отже, в будь-якій точці функція Дирихле має розрив другого роду.

Похилі та горизонтальні асимптоти кривої

Нехай функція визначена на інтервалі .

Означення: Пряма називається асимптотою кривої , якщо відстань точки кривої від цієї прямої прямує до нуля, коли (Рис.2).

14

Рис.2

Теорема: (необхідна і достатня умова існування асимптоти кривої)

Нехай функція визначена на інтервалі .Щоб пряма була асимптотою кривої ,необхідно і достатньо, щоб

. (1)

Доведення: Розглянемо випадок, коли функція визначена на інтервалі. Другий випадок доводиться аналогічно.

Необхідність: Нехай пряма є асимптотою кривої.Відстаньточкикривої від цієї прямої легко визначити з прямокутного трикутника(Рис.2):

cos.

Оскільки , коли,cosіне залежить від, то. Звідси:

,

, тобто рівності (1) виконуються.

Достатність: Нехай мають місце рівності (1), де і - дійсні числа. Покажемо, що пряма є асимптотою кривої .

Справді, з рівностей (1) маємо:

,

15

тобто модуль різниці ординат кривої і прямох прямує до нуля, коли . Але при цьому, якщо , то прямуватиме до нуля і відстань точки кривої від цієї прямої. Отже, пряма є асимптотою кривої .

щ.п.б.д.

Зауваження: Асимптота кривої може не мати з кривою спільних точок, а може перетинатися з нею як у скінченній, так і в нескінченній кількості точок.

Означення: Асимптоти, рівняння яких має вигляд , називають похилими асимптотами кривої. Якщо ж , то асимптоту називають горизонтальною асимптотою кривої.

Приклад: Знайдемо похилі асимптоти кривої .

Розв’язання: Маємо:

,

.

Пряма - похила асимптота даної кривої.

Завдання для домашнього опрацювання:

Вивчити конспект.