Тема уроку: ”Неперервність складеної функції. Неперервність елементарних функцій. Точки розриву та асимптоти”

Тип уроку: Урок вивчення нового матеріалу.(2 уроки)

Мета:1. Ознайомити учнів з поняттями: неперервної складеної функції,точок розриву, а також асимптотами.

2. Дати означення неперервної складеної функції, асимптот.

3. Сприяти формуванню в учнів уміння розв’язувати задачі за допомогою складених функцій та асимптот.

Вивчення нового матеріалу.

Неперервність складеної функції. Неперервність елементарних функцій

Теорема: Нехай функція неперервна в точці, а функція , неперервна в точці . Тоді складена функція неперервна в точці .

Доведення: Візьмемо з області визначення будь-яку послідовність значень аргументу, яка збігається до. Тодіза неперервністю функціїв точцімаємо:

,

тобто послідовність відповідних значень функції збігається до. За неперервністю функціїв точціодержимо:

, тобто .

Таким чином, границя складеної функції в точцідорівнює її значенню в цій точці, що й доводить неперервність функціїв точці.

щ.п.б.д.

10

Приклад:. Довести неперервність функції y=sinв точці =0.

Розв’язок: Дана функція y=sinє складеною: sin, деy=f(z)=sin z, z==.Оскільки функціяz=неперервна в точці=0, а функція y= sin z неперервна в точці z=0, то за теоремою складена функція y= sinнеперервна в точці=0.

щ.п.б.д.

Означення: Функція називається неперервною на інтервалі , якщо вона неперервна в кожній точці цього інтервалу. Функція називається неперервною на відрізку , якщо вона неперервна в кожній точці цього відрізка і неперервна в точці справа та в точці зліва, тобто ,.

Неперервність показникової функції

1) Доведемо спочатку, що показникові функція неперервна в точці, тобто

.

Припустимо, що і . Позначимо , тодіі, звідки примаємо:. Оскільки при показникові функціязростає, то при маємо:

Нехай справа. Тоді, і тоді з наведеної вище нерівності випливає (за теоремою про граничний перехід в нерівностях):

11

(нагадаємо, що для послідовностей було доведено: ).

Нехай тепер зліва . Тоді і , тому за доведеним , а тоді

Отже, односторонні границі в точці рівні, тоді існує границя показникової функції при , і ця границя дорівнює значенню функції в точці . Таким чином, неперервність показникової функції в точці доведена.

2) тепер легко довести, що показникові функція неперервна в будь-якій точці числової прямої, тобто

.

Розглянемо різницю . Подамо її у вигляді . Очевидно, що при , тому за доведеною неперервністю показникової функції при маємо:

.

Тоді .

Отже: , щ.п.б.д.

3) Ми розглянули випадок . Якщо ж , то функція також неперервна, оскільки , а функція неперервна згідно з доведеним вище . І тоді неперервна як частка неперервних функцій.

4) Якщо , то - неперервна функція.

Отже, показникові функція неперервна при всіх .

Неперервність логарифмічної функції

Показникова функція неперервна і моторно зростає при та монотонно спадає при . Множиною значень показникової

12

функції є інтервал . Тому, згідно з теоремою про неперервність оберненої функції, на інтервалі існує обернена функція , яка неперервна на зазначеному інтервалі.

Отже, логарифмічна функція неперервна при .