Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1323 вуза, 5394 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Университет таможенного дела и финансов
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Математика для економістів Заоч. Ч 1 2015

.pdf
Скачиваний:
40
Добавлен:
04.03.2016
Размер:
5.01 Mб
Скачать
☆

Питання для самоконтролю

1.Що називається функцією? Навести приклади.

2.Що називається областю визначення та множиною значень функції?

3.Охарактеризувати основні способи задання функції.

4.Які функції називаються основними елементарними функціями?

5.Яка функція називається складеною (елементарною) ? Навести приклади.

6.Що називається числовою послідовністю?

7.Що називається границею числової послідовності?

8.Що називається границею функції в точці?

9.Які функції називаються нескінчено малими (великими)?

10.Ознаки існування границі послідовності.

Рекомендована література [1,2,4]

Тема 6. Диференціальне числення функції однієї змінної План заняття

1.Функція однієї змінної. Означення похідної.

2.Похідна елементарних функцій.

3.Диференціал. Геометричний зміст похідної і диференціала.

4.Похідна складної, оберненої та заданої неявно заданої функцій.

5.Правило Лопіталя для обчислення границь.

Навчальні цілі

Вивчення теми надасть студентам можливість знати поняття функції однієї змінної, означення похідної, диференціала, їх геометричний зміст. Набути навички обчислення похідної складної, оберненої та заданої неявно функцій. Ознайомитись з правилом Лопіталя для обчислення границь.

Методичні рекомендації до практичного заняття Означення. Нехай X і Y – деякі числові множини і нехай кожному

елементу x X за деякому закону f поставлено у відповідність лише один елемент y Y . Тоді визначена функціональна залежність y від x за законом y f (x) . При цьому x називають незалежною змінною ( або аргументом), y - залежною змінною, множина X – областю визначення (існування) функції,

множина Y – областю значень (зміни) функції.

Задати функцію - означає, вказати закон f визначення залежної змінної для кожного значення аргументу із області визначення функції.

Означення. Основними елементарними функціями називаються такі функції: степенева, показникові, логарифмічна, тригонометрична і обернені тригонометричні функції.

Означення. Елементарною функцією називається функція, яка утворюється за допомогою скінченої кількості арифметичних дій і суперпозицій основних елементарних функцій.

80

Означення. Похідною функції відношення приросту функції в цій існує:

f (x) lim

x 0

у

f(x0 + x)

f

f(x) в точці х = х0 називається границя точці до приросту аргументу, якщо він

f (x x) f (x) . x

f(x)

P

f(x0) M

x

0

x0

x0 + x

x

Нехай f(x) визначена на деякому проміжку (a, b). Тоді tg

f

тангенс

 

x

 

 

кута нахилу січної МР до графіку функції.

lim tg

lim

 

f

f (x0 ) tg

,

 

 

 

x

x 0

x

0

 

 

 

 

 

де - кут нахилу дотичної до графіку функції f(x) в точці (x0, f(x0)).

Кут між кривими може бути визначений як кут між дотичними,

проведеними до цих кривих в будь-якій точці.

 

 

Рівняння дотичної до кривої: y

y0

f (x0 )(x

x0 )

Рівняння нормалі до кривої: y

y0

1

(x

x0 ) .

 

 

 

f (x0 )

 

 

 

 

 

Фізичний зміст похідної функції f(t), де t- час, а f(t)- закон руху (зміни координат) – миттєва швидкість руху.

Відповідно, друга похідна функції – швидкість зміни швидкості, тобто прискорення.

 

Односторонні похідні функції в точці

 

 

 

 

Означення.

Правою

(лівою)

похідною функції

 

f(x) в точці х = х0

називається праве (ліве) значення границі відношення

 

 

f

при умові, що це

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

співвідношення існує.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

(x ) lim

f

f (x ) lim

 

 

f

.

 

 

 

 

 

 

0

x 0

x

0

x

0

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Якщо функція f(x) має похідну в деякій х = х0, то вона має в цій точці односторонні похідні. Однак, обернене твердження невірне. По-перше функція

81

може мати розрив в точці х0, а по-друге, навіть якщо функція неперервна в точці х0, вона може бути в ній не диференційованою.

Наприклад: f(x)= x- має в точці х=0 і ліву і праву похідну, неперервна в цій точці, однак, не має в ній похідної.

Теорема. (Необхідна умова існування похідної). Якщо функція f(x) має похідну в точці х0, то вона неперервна в цій точці.

Ця умова не є достатньою.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Основні правила диференціювання

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Позначимо f(x) = u, g(x) = v- функції, диференційовані в точці х.

1) (u

v) = u

 

 

 

 

v ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) (u v) = u v + u v;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

u

 

 

u v

v u

 

, якщо v

0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

v 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Похідні основних елементарних функцій

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) С

= 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9)

 

sin x

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) (xm)

= mxm-1;

 

 

 

 

 

 

 

10)

 

cos x

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11)

tgx

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 2

x

 

 

 

 

 

 

 

2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12)

 

 

ctgx

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

2

x

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

 

 

e x

 

e x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13)

arcsin x

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6)

a x

 

a x ln a

 

 

 

 

 

 

14)

arccos x

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7)

ln x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15)

 

 

arctgx

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8)

log a

x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16)

arcctgx

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ln a

 

 

 

 

 

 

1

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Похідна складної функції

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема. Нехай y = f(x); u = g(x), причому область значень функції u

входить в область визначення функції f.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тоді

 

y

 

f (u) u .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Логарифмічне диференціювання

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розглянемо функцію y

 

ln

 

x

 

 

ln x, при x

 

0

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln(

 

x),

при

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тоді (ln x ) =

1

 

, так як

ln x

 

1

;

(ln(

x))

(

x)

 

 

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Враховуючи отриманий результат, можна записати:

82

 

 

 

 

f (x)

.

 

 

ln

f (x)

 

 

 

 

 

f (x)

 

 

 

f (x)

Відношення

називається логарифмічною похідною функції f(x).

f (x)

 

 

 

 

 

 

Метод логарифмічного диференціювання полягає в тому, що спочатку знаходять логарифмічну похідну функції, а потім похідну самої функції за формулою:

f (x) (ln f (x) ) f (x) .

Похідна показниково-степеневої функції Функція називається показниковою, якщо незалежна змінна входить в

показник степеня, і степеневою, якщо змінна є основою. Якщо ж і основа і показник степеня залежать від змінної, то така функція буде показноковостепеневою.

Нехай u=f(x) и v=g(x) – функції, які мають похідні в точці х, f(x)>0. Знайдемо похідну функції y=uv. Логарифмуючи, отримаємо:

lny = vlnu

 

y

v ln u

v

u

 

 

y

u

 

 

 

 

 

y

u v v

u

 

v ln u

u

 

 

 

 

 

 

Звідки отримаємо:

 

 

 

 

 

 

u v

vuv 1u u v v ln u .

Похідна обернених функцій

Нехай необхідно знайти похідну функції у = f(x) за умови, що обернена їй функція x = g(y) має похідну, відмінну від нуля у відповідній точці.

Для рішення цієї задачі диференціюємо функцію x g (x) по x :

 

1

 

g ( y) y ;

 

 

 

 

Так як g (y) 0

y

 

1

 

;

dy

1

,

 

 

 

 

 

dx

 

 

g ( y)

dx

 

 

dy

тобто похідна оберненої функції обернена по величині похідної даній функції.

Наприклад. Знайти формулу для похідної функції arctg.

Функція arctg є функцією, оберненою до функції tg, тобто її похідна може бути знайдена наступним чином:

y tgx;

x arctgy;

Відомо, що y (tgx)

1

;

 

cos2 x

По наведеній вище формулі отримаємо:

y

1

;

d (arctgy)

1

.

 

 

 

 

d (arctgy) / dx

dy

1/ cos2 x

83

Так як

1

 

1 tg 2 x 1 y 2

;

то можна записати кінцеву формулу для похідної

 

 

cos 2

 

 

x

 

 

 

 

 

арктангенса:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(arctgy)

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 y 2

Таким чином отримані всі формули для похідних арксинуса, арккосинуса і інших обернених функцій, наведених в таблиці похідних.

Диференціал функції Нехай функція y= f(x) має похідну в точці х:

lim

y

f (x) .

 

x

x 0

 

 

 

Тоді можна записати:

y

f (x)

 

x

 

 

, де

0, при х 0.

Отже:

y

f

(x)

x

x .

Величина

x - нескінченно мала більш високого порядку, ніж f (x) x, тобто

f (x) x- головна частина приросту

у.

Означення. Диференціалом функції f(x) в точці х називається головна

лінійна частина приросту функції.

 

 

Позначається dy або df(x).

 

 

 

 

 

 

Із означення слідує, що dy = f (x)

x

або

 

 

 

 

 

 

dy = f (x)dx.

Можна також записати: f

(x)

 

dy

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

Геометричний зміст диференціалу

y

f(x)

K

dy

M y L

x

x + x

x

З трикутника MKL: KL = dy = tg x = y x.

Таким чином, диференціал функції f(x) в точці х дорівнює приросту ординати дотичної до графіка цієї функції в розглядаємій точці.

84

Властивості диференціала

Якщо u = f(x) і v = g(x)- функції, диференційовані в точці х, то безпосередньо із означення диференціала слідують наступні властивості:

1) d(u v) = (u v) dx = u dx v dx = du dv

2)d(uv) = (uv) dx = (u v + v u)dx = vdu + udv

3)d(Cu) = Cdu

4) d

u

 

vdu udv

v

 

v 2

 

 

Диференціал складної функції Інваріантна форма запису диференціалу

Нехай y = f(x), x = g(t), тобто у - складна функція.

Тоді

dy = f (x)g (t)dt = f (x)dx.

Форма запису диференціала dy не залежить від того, чи буде х незалежною змінною або функцією будь-якої іншої змінної, у зв’язку з чим ця форма запису називається інваріантною формою запису диференціала.

 

Однак, якщо х - незалежна змінна, то dx =

x, але якщо х залежить від t,

то

х dx.

 

 

Таким чином, форма запису dy = f (x) x не є інваріантною.

 

Розкриття невизначеностей

 

 

 

Правило Лопіталя.

 

 

(Лопіталь (1661-1704) – французький математик)

 

До невизначеностей відносять наступні співвідношення:

 

 

0

;

 

; 0; 0 ; 1 ;

.

 

0

 

 

 

 

 

 

Теорема (правило Лопіталя). Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в околі точки а, неперервні в точці а, g (x) відмінна від нуля в околі а і f(a) = g(a) = 0, то границя відношення функцій при х а дорівнює границі відношення їх похідних, якщо ця границя (скінчена або нескінченна) існує.

lim f (x)

x a g(x)

lim

f (x)

.

 

x a

g (x)

Наприклад. Знайти границю lim

x2 1

ln x

.

 

x

 

x 1

e

e

 

 

 

 

 

Як видно, при спробі безпосереднього обчислення границі отримаємо невизначеність виду 00 . Функції, які входять в чисельник і знаменник дробу задовольняють вимогам теореми Лопіталя:

f (x) = 2x +

1

;

g (x) = ex;

х

 

 

 

85

 

 

 

2x

1

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

 

 

 

2 1

3

 

lim

x

.

 

 

g (x)

 

e x

 

 

 

e

 

e

x 1

 

 

 

 

 

Якщо при розв’язуванні прикладу після застосування правила Лопіталя спроба обчислити границю знову приводить до невизначеності, то правило Лопіталя може бути застосовано другий раз, третій і т.д. доки не буде отримано результату. Це можливо лише в тому випадку, коли знов отримані функції в свою чергу задовольняють вимогам теореми Лопіталя.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наприклад. Знайти границю

lim

 

 

 

xe 2

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

x

e

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x) ;

 

g (x) 1 e x ;

 

 

 

 

 

 

f (x) e 2 (1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

x

 

1

 

x

 

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

1

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

e

 

(4 x) ;

 

g (x) e x ;

 

f (x)

e 2

2

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

;

 

 

g

(x)

 

e 2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

0 .

4

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2e 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула Маклорена Одним із основних принципів математики є зображення складного через

більш простіше. Формула Маклорена є реалізацією цього принципу. Будь-які функції, диференційовані достатню кількість разів в точці x 0 , можуть бути зображені у вигляді многочленів деякого степеня. Останні є більш простими елементарними функціями, над якими зручно виконувати арифметичні дії, обчислювати значення в будь-якій точці і т.д. Отже, функція f ( x) , яка має (n 1) похідну в точці x 0 , може бути зображена за формулою Маклорена разом із залишковим членом:

f (x)

f (0)

f '(0)

x

f ''(0)

x2

 

f (n) (0)

xn

O(x) .

 

 

 

 

 

1!

 

2!

 

 

n!

 

Ця

формула дає

можливість

зобразити функцію

f ( x) у вигляді

многочлена. Ця формула широко використовується для наближених обчислень значень різних функцій; при цьому похибка обчислень оцінюється по залишковому члену розкладення O( x) .

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклади

 

 

 

 

 

 

 

 

x2ex 2

 

 

 

 

 

1. Знайти похідну функції y

 

 

.

 

 

 

 

 

x2 1

 

 

 

 

 

Розв'язок.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

(2xex2

x2 2xex2 )(x 2 1) (2x)x 2 e x2

2x3e x2

2x5 e x2

2xex2

2x3e x2

2x3e x2

 

 

(x 2 1)2

 

 

 

 

 

(x 2 1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2xex2 (x 4

1 x 2 )

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 2

1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

86

2. Знайти похідну функції y

 

ln tg

 

 

x

 

 

 

 

 

x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв'язок.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

sin x

x cos x

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

sin x

x cos x

sin x sin x

x cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg

x

 

 

cos

2

x

2

 

 

 

 

 

 

sin 2 x

 

 

2 sin

x

cos

x

 

 

sin 2 x

 

 

 

 

 

 

 

sin 2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Знайти похідну функції y

 

arctg

 

2x 4

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8x3 (1 x8 ) ( 8x7 )2x 4 (1 x8 )2 (8x3 8x11

 

16 x11 ) 8x3

8x11

 

1

 

 

 

 

 

4x8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 x8 )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 x8 )2 (1 x8 )2

 

 

 

 

(1 x8 )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1

 

x8 )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8x3 (1

 

x8 )

 

 

 

8x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 x8 )2

 

 

1

 

 

 

 

x8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Знайти похідну функції y

 

x 2 e x2

ln x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

x

2

e

x2

 

ln x

 

 

 

x

2

e

x2 1

2xe

x2

x

2

e

x2

 

2x ln x

 

xe

x2

2xe

x2

(1

x

2

) ln x xe

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xex2 (1 2 ln x 2x 2 ln x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Знайти похідну функції

f (x) (x2

 

 

3x) x cos x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв'язок.

 

 

По

 

 

 

 

 

формулі

 

показниково-степеневої

функції

отримаємо:

u x2

3x;

 

 

 

v

 

 

x cos x;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Похідні цих функцій: u

2x

3;

v

 

 

 

 

 

cos x

 

 

 

 

x sin x;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отже:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

 

x cos x (x2

3x) x cos x 1

(2x

 

 

 

 

3)

 

(x2 3x) x cos x (cos x

x sin x) ln( x2 3x) .

Завдання

1. Знайти похідні функції вигляду у=хn, у= ах, у=loga x (у=lnх).

В. 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В. 2

 

 

 

 

 

1.

y 1 2x 30, y ?

 

1. y 1 x2 10 , y ?

2. y

x3

 

2 x

 

, y ?

 

2. y x3

10 2 x 3 , y ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

y

x 2

log 3 x,

y

?

3.

y

ln 2 x,

 

y

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

1

 

 

 

4.

y

 

 

t3

 

1 t,

y (0)

?

4.

y

,

y (2) ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В. 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В. 4

 

 

 

 

 

1.

y 1 x 20 , y ?

 

1.

y x2

1 4 , y ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

y e x 1 , y ?

 

2. y

1 e3x , y ?

87

3.

y

 

x

1

,

y

?

 

3.

 

log 2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

y

1

x 2

 

5

1

, y ?

4.

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y log 3

x3

 

1 , y

?

 

 

 

 

 

 

y

1

x2

 

,

y (0)

?

1

x2

 

 

 

 

2. Знайти похідні тригонометричних функцій і обернених тригонометричних функцій.

 

 

В. 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В. 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

y

 

2sin x

 

 

 

,

y

?

 

1.

y

 

sin 3x

 

 

 

,

y

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 sin 2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 2x

 

 

 

 

 

 

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

y

 

 

tg

 

,

 

 

 

y

?

 

 

2.

y

ctg3 1

 

x2 ,

 

y

?

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

y

 

(arcsin x)2 ,

y

?

 

3.

y

arcsin x

 

,

 

 

y

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arccos x

 

 

 

 

 

 

 

4.

y

 

 

x

 

arctgx,

y

?

4.

y

arctgx3 ,

y

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В. 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В. 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2sin 2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

y

 

,

y

?

 

1.

y

2

,

 

y

?

 

 

 

cos 2x

 

cos 3 4x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

y tg 2

x 1

, y ?

 

2.

y

 

1 tg x

1

 

 

, y ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

3.

y

 

arccos x

,

y

?

 

3.

y

x arcsin x 2

 

 

 

2x ,

y

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

y

 

x sin x

arctgx ,

y

?

4.

y

x3arctgx3 ,

 

 

y

?

 

Питання для самоконтролю

1.Дати означення похідної заданої функції.

2.Який геометричний, механічний та фізичний зміст похідної?

3.Як знайти похідну, виходячи з її означення?

4.Залежність між неперервністю функції та її диференційованістю.

5.Сформулювати правила диференціювання.

6.Похідна складної та оберненої функцій.

7.Логарифмічна похідна.

8.Похідні неявної та параметрично заданої функції.

9.Похідні вищих порядків.

10.Описати спосіб графічного диференціювання.

11.Як визначається кут між лініями?

12.Що називається диференціалом функції?

13.Який геометричний та механічний зміст диференціала?

14.Назвати властивості диференціала.

15.У чому полягає інваріантність форми диференціала?

16.Як визначається диференціал функції через її похідну?

17.Сформулювати теорему Лагранжа.

18.Сформулювати теорему Коші.

88

19.Записати формулу Маклорена.

20.Записати формулу Тєйлора.

21.Сформулювати правило Лопіталя.

Рекомендована література [1,2,4]

Тема 7. Дослідження функцій та побудова їх графіків План заняття

1.Неперервні функції. Означення та властивості неперервних функцій.

2.Точки розриву та їх класифікація.

3.Дослідження функції за допомогою похідної.

4.Екстремум функції.

5.Асимптоти.

6.Алгоритм дослідження функції та побудова її графіку.

Навчальні цілі

Вивчення теми надасть студентам можливість знати умови неперервності функцій, класифікацію точок розриву, вміти визначати асимптоти функції. А також вміти проводити дослідження функції на екстремум, вивчити необхідні і достатні умови існування екстремуму, знати алгоритм відшукання найбільшого і найменшого значення функції на відрізку та побудови графіків функцій.

Методичні рекомендації до практичного заняття

Неперервність функції в точці

Означення. Функція f(x), визначена в околі деякої точки х0, називається неперервною в точці х0, якщо границя функції і її значення в цій точці рівні, тобто

lim f (x) f (x0 ) .

x x0

Означення. Якщо функція f(x) визначена в деякому околі точки х0, але не є неперервною в самій точці х0, то вона називається розривною функцією, а точка х0 – точкою розриву.

Приклад неперервної функції:

y

f(x0)+ f(x0) f(x0)-

0 x0-

 

x0 x0+

x

 

Означення. Функція f(x) називається неперервною в точці х0, якщо для

будь-якого додатного числа

>0 існує таке число >0, що для довільних х,

 

 

 

задовольняючих умові

x x0

 

, виконується нерівність

89

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности