Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Университет таможенного дела и финансов

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика для економістів Заоч. Ч 1 2015

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

04.03.2016

Размер:

5.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 228 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

		1
S		1	AC	*	BД	,
S	2		AC	*	BД	,
1	2		1

	336				33 *		ДВ	,	ДВ	336 / 33

2			2
2			2

Знайдемо рівняння прямої, яка проходить через точку Е ( 3,5;5;7;) паралельно прямій сторони ВС.

Рівняння ВС знайдемо за формулою																	X	X B		Y	YB	Z	Z B	,
Рівняння ВС знайдемо за формулою																								,
																	X C	X B	YC		YB	ZC	Z B
	x	2		y	3		z	5	,	x	2		y 3		z 5	– рівняння прямої ВС.
4		x	7		3	5		5	,		2	4		0		– рівняння прямої ВС.
4		x	7		3	5		5			2	4		0

Рівняння прямої, яка проходить через точку Е паралельно прямій ВС знаходимо за формулою

X X E		Y YE		Z ZE	,	X 3,5		Y 5		Z 7	.
2	4		0			2	4		0

Завдання

1.Які з наведених рівнянь визначають кола?

Знайти центр С та радіус R кола, побудувати його.

В. 1	х2 + у2 – 10х + 4у + 4 = 0.	В. 4	х2 + у2 + х = 0.
В. 2	х2 + у2 – 10х + 4у + 29 = 0.	В. 5	х2 + у2 – 10у + 20 = 0.
В. 3	х2 + у2 + 4х – 60 = 0.	В. 6 х2 + у2 – 2х +4у +14 = 0.
2. Заданий еліпс.

Знайти: 1) його півосі; 2) фокуси; 3) ексцентриситет; 4) рівняння директрис;

5) побудувати його.
В. 1	4х2	+ 9у2 = 25.	В. 4	х2	+ 15у2 = 15.
В. 2	25х2	+ 9у2 = 1.	В. 5	25х2	+ у2	= 50.
В. 3	9х2	+ у2 = 1.	В. 6	9х2	+ 5у2	= 45.

3. Задана гіпербола.

Знайти: 1) півосі а та b ; 2) фокуси; 3) ексцентриситет; 4) рівняння асимптот; 5)

рівняння директрис; 6) побудувати гіперболу.
В. 1	9х2	– 64у2 = 1.			В. 4	4х2 – 9у2		= 36.
В. 2	4х2	–	9у2	= 25.	В. 5	х2	– у2	= 1.
В. 3	х2	–	4у2	= 16.	В. 6	х2	– 16у2 = 16.

4.Встановити, що кожне з наведених рівнянь визначає параболу; знайти координати її вершини А та параметри. Побудувати параболу.

В. 1 у2 + х – 2у – 1 = 0.			В. 4 у2 + 4х – 4у = 0.
В. 2 4х2 – 8х – у – 7 = 0.			В. 5 2у2 – х – 12у + 14 = 0.
В. 3 х2 + 4х – 4у + 8 = 0.			В. 6 - х2 + 12х – 6у – 42 = 0.
5. Записати рівняння прямої, яка проходить через точку M і має напрямний

вектор a :
В. 1		(2;1;6)	В. 2	M ( -4; 2; 6) ;		(7;1;4)
	M ( -1; 2; 5) ; a				a
В. 3		(4;-1;5)	В. 4	M ( 1; -3; 5) ;		(-2;3;6)
	M ( 1; -4; 0) ; a				a
В. 5		(-2;3;8)	В. 6	M ( 1; 0; -7) ;		(5;-1;3)
	M (-5; 2; 3) ; a				a
6. Визначити відстань від точки Р до площини АВС :
В. 1	(АВС) : 3x + 4y – 5z + 2 = 0 ;			P ( 10; 8; 1 ).


В. 2	(АВС) :	– 2x		+ y – 3z	–1= 0 ;			P ( -7; 6; 5 ).
В. 3	(АВС) :	2x	–	3y + 6z –		9 = 0 ;		P ( 8; 1; 4).
В. 4	(АВС) :	– 5x		+ 4y – z – 3 = 0 ;				P ( 4; 6; 1).
В. 5	(АВС) :	6x	–	3y + 5z	+ 1 = 0 ;			P ( -3; 1;	7 ).
В. 6	(АВС) :	– 2x		– 4y + 5z		+ 1 = 0	; P ( -2; 3;		8).

		Питання для самоконтролю
1.	Що називається лінією другого порядку?
2.	Що	називається колом?	Вивести рівняння кола з центром у точці
	M 0	x0 ; y0 .
3.	Що називається еліпсом?		Вивести канонічне рівняння еліпса.
4.	Дослідити форму еліпса, відповідно			канонічним рівнянням, та
	побудувати його.

5.Що називається гіперболою? Вивести канонічне рівняння гіперболи.

6.Дослідити форму гіперболи, відповідно канонічним рівнянням, та побудувати її.

7.Що називається параболою? Вивести канонічне рівняння параболи.

8.Записати та дослідити загальне рівняння площини.

9.Вивести рівняння площини, яка проходить через три точки.

10.Вивести рівняння площини у відрізках на осях.

11.Як обчислити кут між двома площинами?

12.Які умови паралельності та перпендикулярності двох площин, двох прямих, прямої і площини?

13.Вивести формулу для обчислення відстані від точки до площини?

Рекомендована література [1,2,4]

Модуль І. Вища математика Змістовий модуль ІІ. Диференціальне числення функції однієї змінної та

його застосування в економіці

Тема 5. Елементи теорії границь План заняття

1.Числова послідовність. Обмежені і необмежені послідовності. Границя послідовності.

2.Границя функції в точці. Основні теореми про границі.

3.Односторонні границі.

4.Нескінченно малі функції. Еквівалентність нескінченно малих функцій.

5.Нескінченно великі функції.

6.Перша і друга важливі границі.

7.Розкриття деяких невизначеностей.

Навчальні цілі

Вивчення теми надасть студентам можливість знати поняття границі послідовності та границя функції, нескінченно малих і нескінченно великих величин. А також, набути навички обчислення границь функцій, розкриття деяких невизначеностей та вміти застосовувати першу і другу важливі границі для обчислення границі функцій.

Методичні рекомендації до практичного заняття

Числова послідовність

Означення. Якщо кожному натуральному числу n поставлено у відповідність число хn, то кажуть, що задана послідовність x1, х2, …, хn = {xn}.

Загальний елемент послідовності є функцією від n: xn = f(n).

Таким чином послідовність може розглядатись як функція порядкового номера елемента.

Задати послідовність можна різноманітними способами – головне, щоб було вказано спосіб отримання будь-якого члена послідовності.

Наприклад. {xn} = {(-1)n} або {xn} = -1; 1; -1; 1; {xn} = {sin n/2} або {xn} = 1; 0; 1; 0.

Для послідовностей можна визначити наступні операції:

1)	множення послідовності на число m: m{xn} = {mxn}, тобто mx1, mx2, ….
2)	додавання (віднімання) послідовностей: {xn}					{yn} = {xn yn}.
3)	добуток послідовностей: {xn} {yn} = {xn yn}.
4)	частка послідовностей:	xn		xn	при {yn}	0.
		yn		yn
	Обмежені і необмежені послідовності
Означення. Послідовність {xn} називається обмеженою, якщо існує таке
число М>0, що для будь-якого n вірна нерівність:
			xn	M ,

тобто усі члени послідовності належать проміжку (-М; M).
Означення. Послідовність {xn} називається обмеженою зверху, якщо для
будь-якого n існує таке число М, що xn				M.
Означення. Послідовність {xn} називається обмеженою знизу, якщо для
будь-якого n існує таке число М, що xn				M.

Наприклад. {xn} = n – обмежена знизу {1, 2, 3, … }.

Означення. Число а називається границею послідовності {xn}, якщо для будь-якого додатного >0 існує такий номер N, що для всіх n > N виконується умова:

	a xn	.
Позначається: lim xn = a.
В цьому випадку кажуть, що послідовність {xn} збіжна до а при n			.

Властивість. Якщо відкинути деяке число членів послідовності, то утворяться нові послідовності, при цьому якщо збігається одна з них, то збігається і друга.

Теорема. Послідовність не може мати більш однієї границі.

Теорема. Якщо xn	a, то	xn	a	.

Теорема. Якщо xn	a, то послідовність {xn} обмежена.

Слід зауважити, що зворотне твердження є невірним, тобто із обмеженості послідовності не слідує її збіжність.

1	1		, при парному n
	n
Наприклад, послідовність xn			не має границі, хоча	xn	2.

	1
2			, при непарному n
		n

Границя функції в точці
y			f(x)

A +

A -

		0		a - a a +	x
Нехай функція f(x) визначена в деякому околі точки х = а (тобто в самій
точці х = а функція може бути і не визначена).
Означення. Число А називається границею функції f(x) при х							а, якщо
для будь-якого >0 існує таке число				>0, що для всіх х таких, що
0 <	x - a <
виконується нерівність		f(x) - A < .
Це означення може бути записано в іншому вигляді:
Якщо а-	< x < a+ , x	a, то виконується нерівність А-			< f(x) <A+ .
Запис границі функції в точці: lim f (x)				A
		x	a
Означення. Якщо f(x)			A1 при х а лише при x < a, то			lim	f (x)	A1 -
						x a 0
називається границею функції f(x) в точці х = а зліва, а якщо f(x)						A2	при х	а
лише при x > a, то lim		f (x) A2	називається границею функції f(x) в точці х = а
	x a 0

справа.

Зазначене означення відноситься до випадку, коли функція f(x) невизначена в самій точці х = а, але визначена в деякому довільному околі цієї точки.

Границі А1 і А2 називаються також односторонніми границями функції f(x) в точці х = а.

f(x)

А2

А1

Границя функції при прямуванні аргументу до нескінченності Означення. Число А називається границею функції f(x) при х , якщо

для будь-якого числа >0 існує таке число М>0, що для всіх х, х >M виконується нерівність A f (x) .

При цьому припускається, що функція f(x) визначена в околі нескінченності. Позначають: lim f (x) A.

x
Графічно можна зобразити:
y	y
A	A

A A

lim g(x)

x a

Аналогічно можна визначити границі lim f (x) A для будь-якого х>M і

lim f (x) A для будь-якого х<M.

x
			Основні теореми про границі
Теорема 1. lim C		C , де С = const.
x a
Наступні теореми справедливі при припущенні, що функції f(x) і g(x)
мають скінченні границі при х							а.
Теорема 2. lim ( f (x)			g(x))				lim f (x)		lim g(x)
x a							x a		x a
Теорема 3. lim [ f (x)			g(x)]				lim f (x)		lim g(x)
x a							x a		x a
Наслідок. lim C		f (x)			C	lim f (x)
x a						x	a
	f (x)			lim		f (x)
Теорема 4. lim	f (x)			x	a			при lim g(x) 0
				x	a

x a	g(x)			lim g(x)					x a
				x	a

Теорема 5. Якщо f(x)>0 в околі точки х=а і lim f (x) A , то А>0.

x a

Аналогічно визначається знак границі при f(x) < 0, f(x) 0, f(x) 0.

Теорема 6. Якщо g(x) f(x) u(x) в околі точки х=а і

lim u(x) A ,

x a

то і lim A .

x a

Означення. Функція f(x) називається обмеженою в околі точки х = а, якщо існує таке число М>0, що f(x) <M в околі точки х = а.

Теорема 7. Якщо функція f(x) має скінчену границю при х а, то вона обмежена в околі точки х = а.

Нескінченно малі функції

Означення. Функція f(x) називається нескінченно малою при х а, де а

може бути числом або однією з величин , + або - , якщо lim f (x) 0 .

x a

Нескінченно малою функція може бути лише якщо вказати до якого числа прямує аргумент х. При різних значеннях а функція може бути нескінченно малою або ні.

Наприклад. Функція f(x) = xn є нескінченно малою при х				0 і	не є
нескінченно малою при х 1, так як lim f (x)		1 .
	x 1
Теорема. Для того, щоб функція f(x) при х а мала границю, яка дорівнює
А, необхідно і достатньо, щоб в околі точки х=а виконувалась умова
f(x) = A +		(x),
де (х) – нескінченно мала при х	а ( (х)	0 при х	а).
Властивості нескінченно малих функцій:
1) Сума фіксованого числа нескінченно		малих	функцій при х	а	також
нескінченно мала функція при х	а.
2) Добуток фіксованого числа нескінченно малих функцій при х				а	також
нескінченно мала функція при х	а.

3) Добуток нескінченно малої функції на функцію, обмежену в околі точки х=а є нескінченно малою функцією при х а.

4)Частка від ділення нескінченно малої функції на функцію, границя якої не дорівнює нулю є величина нескінченно мала.

Нескінченно великі функції і їх зв’язок з нескінченно малими

Означення. Границя функції f(x) при х а, де а- число, дорівнює нескінченності, якщо для будь-якого числа М>0 існує таке число >0, що нерівність

f(x) >M

виконується при всіх х, які задовольняють умові

	0 < x - a < .
Позначається: lim f (x)	.
x a

Якщо в означенні замінити умову f(x) >M на f(x)>M, то отримаємо:

lim f (x)		,
x	a
а якщо замінити на f(x)<M, то:
lim f (x)		.
x	a

Графічно наведені випадки можна зобразити наступним чином:

Означення. Функція називається нескінченно великою при х а, де а –

число або одна з величин	, + або -	, якщо lim		f (x) A , де А – число або одна
			x a
з величин , + або - .
Теорема. Якщо f(x)	0 при х а (якщо х			) і не дорівнює нулю, то
	y	1	.

		f (x)
		f (x)

Порівняння нескінченно малих функцій Нехай (х), (х) і (х) – нескінченно малі функції при х а. Будемо

позначати ці функції , і відповідно. Ці нескінченно малі функції можна порівнювати за швидкістю їх спадання, тобто по швидкості їх наближення до нуля.

Наприклад, функція f(x)=x10 прямує до нуля швидше, ніж функція f(x)=x.

Означення. Якщо lim

0 ,

то функція

називається нескінченно малою

більш високого порядку, ніж функція .

Означення. Якщо

lim

A, A

0, A

const ,

то

називаються

нескінченно малими одного порядку.

Означення. Якщо lim

то функції

і називаються еквівалентними

нескінченно малими. Записують:

~ .

Наприклад. Порівняємо нескінченно малі при х

0 функції f(x)=x10 і f(x) = x.

lim

x10

lim x9

x a

тобто функція f(x)=x10 – нескінченно мала більш високого порядку, ніж f(x) = x. Означення. Нескінченно мала функція називається нескінченно малою

порядку k відносно нескінченно малої функції , якщо границя

відмінна від нуля.

Властивості еквівалентних нескінченно малих

lim скінчена і

x a k

1) ~ ,

lim

;

2) Якщо

, то

lim

1 1

1 ;

x a

3) Якщо

, то

lim

;

x a

4) Якщо

і lim

k , то і lim

або lim

lim

x a

Наслідок. а) якщо

і lim

k , то і lim

lim

;

x a

б) якщо

і lim

k , то lim

lim

x a

Деякі важливі границі

Розглянемо lim P(x) ,

x Q(x)

де P(x) = a0xn + a1xn-1 +…+an, Q(x)=b0xm+b1xm-1 +…+bm - многочлени.

x n (a

...

)

...

P(x)

x n m

Q(x)

....

)

...

x m

...

lim

x n

...

x m

при

Тоді:

lim

P(x)

при

Q(x)

при

Перша важлива границя:

Друга важлива границя:

lim		sin x		1 .
lim		x		1 .
x	0	x
x	0
		1		x
lim	1			e .
lim	1		x	e .
x			x
x

Окрім двох зазначених важливих границь, можна записати наступні корисні на практиці співвідношення:

lim

ln(1 x)

lim

a x

ln a;

lim

(1 x)m

x 0

Приклади

Знайти границю lim

tg5x

sin 7x

Розв'язок. Так як tg5x ~ 5x і sin7x ~ 7x при х

то, замінивши функції

еквівалентними нескінченно малими, отримаємо:

lim

tg5x

lim

x 0 sin 7x

Знайти границю lim

1 cos x

Розв'язок.

Так

як

1–cosx= 2sin 2

~ 2

при

то

lim

lim 2x

0 .

1 cos x

x 2

x 0

Знайти границю lim

tgx

lim

sin x 2

x 2

x 0

Знайти границю lim

tgmx

lim

sin nx

x 0

Знайти границю:

lim

tgx

tgx0

lim

sin( x

x0 )

lim

sin( x

x0 )

lim

x0 ) cos x cos x0

cos x cos x0

cos

x x0

Знайти границю:

sin( / 4

sin x

cos x

sin(

/ 4

lim

/ 4

/ 4 2 2 ( / 4 x)

2 2

Знайти границю:

x 3

x 1 4 x 3

y x 1

y 4 y 4

4 y

4 4

lim

lim 1

x 1

4 z

lim 1

8 Знайти границю: lim	x2	6x	8	.
	x2	8x	12
x 2

Розв'язок. Для знаходження цієї границі розкладемо на множники чисельник і

знаменник:
		x2 – 6x + 8 = 0;																												x2 – 8x + 12 = 0;
		D = 36 – 32 = 4;																												D = 64 – 48 = 16;
		x1 = (6 + 2)/2 = 4;																												x1 = (8 + 4)/2 = 6;
		x2 = (6 – 2)/2 = 2 ;																												x2 = (8 – 4)/2 = 2;
Тоді lim							(x					2)(x						4)			lim	x	4		2		1	.
Тоді lim							(x					2)(x						6)			lim	x	6	4		2		.
		x	2				(x					2)(x						6)			x 2	x	6	4		2
																													Завдання
		Знайти границі функції:
В. 1																													В. 2
1.	lim								x			4			;													1. lim 2 sin							x			3 cos					2 x			tgx ;
				3																															2										4
				3					x			24
	x	3							x			24																	x
2.	lim						2x2						x		6				;							2.			lim			x 2			3x				4			;
2.	lim					x			2			8x			12				;							2.			lim		2x			2								;
	x	2				x						8x			12														x	1	2x				5x 3
	x	2																											x	1

3.	lim							3x					1		2			;								3.			lim				2x		1			3		;

									1				x	3																			x		4
	x	1							1				x																x	4			x		4
4.	lim					x3							x		1		.									4.			lim		2x 2					x		3			.
					3																										2x 2							3
					3									1																	3				4
	x										x			1															x					x	4
		В. 3																																В. 4
1.	lim						3x						4		;															1.			lim				8x3						4x			5	;
			3																																							2			x
			3						28				x																													2
	x	1							28				x																					x	0					x
											2																												2
2.	lim						x						x		12					;										2.			lim					x				8x				9		;
2.	lim										2		7x					3		;										2.			lim					2				10 x				9		;
	x	3				2x							7x					3																x	9			x				10 x				9
	x	3																																x	9

3.	lim									x			9		3	;														3.			lim					1				x				2	;

												x	2																										1				x	2
	x	0										x																						x	1				1				x
4.	lim								5x2						3x				1		.									4.			lim					3x 2					5		.
4.	lim										1		x			x			2		.									4.			lim					x	3			1			.
	x										1		x			x																		x				x				1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 228 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.03.2016328.19 Кб14Маркетинг Заоч. 2013.doc
#
03.03.20161.82 Mб43Маркетинговий менеджмент Ден. Маг. 2014.doc
#
07.11.20182.95 Mб7Математ. конт.работы.doc
#
04.03.20166.4 Mб36Математика для економістів Ден.. 2010 ч.1.pdf
#
04.03.20166.23 Mб28Математика для економістів Заоч. 2010 ч.1.pdf
#
04.03.20165.01 Mб40Математика для економістів Заоч. Ч 1 2015.pdf
#
07.11.20181.05 Mб8Математичн модел у ф нансах Ден. 2009.doc
#
04.03.20161.73 Mб43Математичні моделі в економіці Ден. Маг. 2015 Чупилко.pdf
#
01.03.2025444.93 Кб0МБ_1-50.doc
#
03.03.201610.2 Mб49Международный менеджмент Учебное пособие 2010.doc
#
04.03.2016643.57 Кб37Международный менеджмент. Опорный конспект лекцій 2015.docx