Математика для економістів Заоч. Ч 1 2015

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Университет таможенного дела и финансов

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Звідси знаходимо О(2; -5/4); R = 11/4.

2. Скласти рівняння гіперболи,

якщо її ексцентриситет дорівнює 2, а

фокуси співпадають з фокусами еліпса з рівнянням

фокуси співпадають з фокусами еліпса з рівнянням

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

04.03.2016

Размер:

5.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 227 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

(x – 2)2 + (y + 5/4)2 = 121/16

Розв'язок. Знаходимо фокусну відстань c2 = 25 – 9 = 16.

Для гіперболи: c2 = a2 + b2 = 16, =c/a = 2; c = 2a; c2 = 4a2; a2 = 4; b2 = 16 – 4 = 12.

3 Приведіть рівняння ліній до канонічного вигляду, визначте тип лінії. Збудуйте лінію.

а) 16x2		9 y2		64x 54 y 161 0 ,
Розв'язок. 16 x2					4x		9 y2	6 y		161		0 ,
16 x2			4x		4 4 9 y2			6 y		9	9	161	0 ,
16 x			2 2	64		9 y 3 2 81				161		0 ,
16 x			2 2		9 y	3 2		144 ,
	x	2 2		y	3	2	1 (гіпербола),
9					16		1 (гіпербола),
9					16
O1 2; 3		– центр гіперболи						a		3,	b	4 – півосі гіперболи.
									Y
								2
								1
								0							X
								0							X
								-1		1		3	5
								-1
								-2
														2b
								-4


	4	4	y	2	4 y		4 4 ,
9		4	y		4 y		4 4 ,
9
4		y	2	2		32	,
9		y	2		9		,
9					9

	x 2	2	y 2 2
				1 – це рівняння еліпса.
	32		8	1 – це рівняння еліпса.
	32		8
9

						4		2
O 2;		2	– центр еліпса ,		a	4		2	, b	2	2 – півосі еліпса.
O 2;		2	– центр еліпса ,		a				, b	2	2 – півосі еліпса.
1							3
							3
									Завдання
					Загальне рівняння площини
		Означення. Площиною називається поверхня, усі точки якої
задовольняють загальному рівнянню:
					Ax + By + Cz + D = 0,
де А, В, С – координати вектора N
де А, В, С – координати вектора N									Ai	Bj	Ck - вектор нормалі до площини.

Можливі наступні випадки:

А= 0 – площина паралельна осі Ох В = 0 – площина паралельна осі Оу С = 0 – площина паралельна осі Оz

D = 0 – площина проходить через початок координат

А= В = 0 – площина паралельна площині хОу

А= С = 0 – площина паралельна площині хОz

В= С = 0 – площина паралельна площині yOz А = D = 0 – площина проходить через вісь Ох

В= D = 0 – площина проходить через вісь Оу С = D = 0 – площина проходить через вісь Oz

А = В = D = 0 – площина співпадає з площиною хОу А = С = D = 0 – площина співпадає з площиною xOz

В= С = D = 0 – площина співпадає с площиною yOz.

Рівняння площини, яка проходить через три задані точки Для того, щоб через три будь-які точки простору можна було провести

єдину площину, необхідно, щоб ці точки не лежали на одній прямій. Розглянемо точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) в декартовій системі координат.

Для того, щоб довільна точка М(x, y, z) лежала в одній площині з точками М1, М2, М3 необхідно, щоб вектори M1M 2 , M1M 3 , M1M були компланарні:

	( M1M 2 , M1M3 , M1M ) = 0.
	M1M {x x1; y y1; z z1}
Таким чином,	M1M 2	{x2	x1; y2	y1; z2	z1} .
	M1M3	{x3	x1; y3	y1; z3	z1}

Рівняння площини, яка проходить через три точки:

		x	x1	y	y1	z	z1
		x2	x1	y2	y1	z2	z1	0 .
		x3	x1	y3	y1	z3	z1
Рівняння площини по двом точкам і вектору, який колінеарне площині
Нехай задані точки М1(x1, y1, z1),						M2(x2, y2, z2) і вектор					, a2 , a3 ) .
Нехай задані точки М1(x1, y1, z1),						M2(x2, y2, z2) і вектор				a (a1	, a2 , a3 ) .
Запишемо рівняння площини,			яка проходить через задані точки М1								і М2 і
довільну точку М(х, у, z) паралельно вектору
довільну точку М(х, у, z) паралельно вектору							a .
Вектори	M1M {x x1; y y1; z z1}					і	вектор			мають бути
Вектори						і	вектор		a (a1,a2 , a3 )	мають бути
	M1M 2 {x2 x1; y2			y1; z2	z1}

компланарними, тобто

( ) = 0

M1M , M1M2 , a

Отже рівняння площини:

x x1 y y1 z z1

x2 x1 y2	y1 z2	z1 0
a1	a2	a3

Рівняння площини по напрямному вектору і точці

Теорема. Якщо в просторі задана точка М0(х0, у0, z0), то рівняння площини, яка проходить через точку М0 перпендикулярно вектору нормалі N (A, B, C) має вигляд:

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.

Рівняння площини у відрізках

Якщо в загальному рівнянні Ах + Ву + Сz + D = 0 поділити обидві частини на (-D)

z 1 0

замінивши

, отримаємо рівняння площини у відрізках:

Числа a, b, c є точками перетину площини відповідно з осями х, у, z. Рівняння площини у векторній формі

							p,
					r	n	p,
де					- радіус - вектор довільної точки М(х, у, z),
де	r	xi	yj	zk	- радіус - вектор довільної точки М(х, у, z),

				-	одиничний вектор, який має напрямок,
n	i cos	j cos	k cos	-	одиничний вектор, який має напрямок,
перпендикуляра, який опущено на площину з початку координат.
,	і - кути, утворені цим вектором з осями х, у, z.
p – довжина цього перпендикуляра.
	В координатах це рівняння має вигляд:
				xcos	+ ycos + zcos - p = 0.

Відстань від точки до площини

Відстань від довільної точки М0(х0, у0, z0) до площини Ах+Ву+Сz+D=0 дорівнює:

d	Ax0 By0		Cz0	D	.

		A2 B2	C2

Рівняння лінії у просторі Як на площині, так і в просторі будь-яка лінія може бути визначена як

сукупність точок, координати який в деякій обраній в просторі системі координат задовольняють рівнянню:

F(x, y, z) = 0.

Це рівняння називається рівнянням лінії в просторі. Крім того, лінія в просторі може бути визначена і інакше. Її можна розглядати як лінію перетину двох поверхонь, кожна з яких задана яким-небудь рівнянням.

Нехай F(x, y, z) = 0 і Ф(x, y, z) = 0 – рівняння поверхонь, які перетинаються по лінії L.

	F (x, y, z) 0
Тоді пару рівнянь Ф(x, y, z)		0
назвемо рівнянням лінії в просторі.
Рівняння прямої в просторі по точці і напрямному вектору

Візьмемо	довільну прямую	і вектор	S (m, n, p), паралельний заданій

прямій. Вектор	S називається напрямним вектором прямої.

На прямій візьмемо дві довільні точки М0(x0, y0, z0) і M(x, y, z).

S M1

r0 r

Позначимо радіус-вектори цих точок як

і r ,

очевидно,

що

r - r

М 0 М . Так як вектори

М 0 М і S

колінеарні, то вірно співвідношення М 0 М =

S t,

де t – деякий параметр.

r = r

Отже, можна записати:

+ S t.

Так як цьому рівнянню задовольняють координати будь-якої точки

прямої, то отримане рівняння – параметричне рівняння прямої.

Це векторне рівняння може бути записано в координатній формі:

Цю систему рівнянь можна записати у вигляді:

x x0

z z0

- канонічне рівняння прямої у просторі.

Означення.

Напрямними

косинусами

прямої

називаються

напрямні

косинуси вектора

, які можуть бути обчислені за формулами:

cos

; cos

;

cos

p 2

n2 p 2

m2 n2

p 2

Звідки отримаємо: m : n : p = cos

: cos

: cos .

Числа m, n, p називаються кутовими коефіцієнтами прямої. Так як

S -

ненульовий вектор, то m, n і p не можуть дорівнювати нулю одночасно, але одне або два з цих чисел можуть дорівнювати нулю. В цьому випадку в рівнянні прямої необхідно прирівняти до нуля відповідні чисельники.

Рівняння прямої у просторі, яка проходить через дві задані точки

Якщо на прямій відмітити дві довільні точки M1(x1, y1, z1) і M2(x2, y2, z2), то координати цих точок мають задовольняти рівнянню прямої:

x2 x1	y2 y1	z2 z1	.
			.
m	n	p

Крім того, для точки М1 можна записати:

x x1	y y1	z z1	.
			.
m	n	p

Розв’язуючи сумісно ці рівняння, отримаємо:

x	x1	y	y1	z	z1	.
						.
x2	x1	y2	y1	z2	z1

Це рівняння прямої, яка проходить через дві точки у просторі.

Загальне рівняння прямої у просторі Рівняння прямої може бути розглянуто як рівняння лінії перетину двох

площин.

Як було розглянуто вище, площина у векторній формі може бути задана рівнянням:

+ D = 0,

N r

де - нормаль площини; - радіус-вектор довільної точки площини.

N r

Нехай в просторі задані дві площини: N1 r +D1=0 і					N 2 r +D2=0, вектори
нормалі мають координати: N1 (A1,B1,C1), N 2			(A2,B2,C2); r (x,y,z).
Тоді загальні рівняння прямої в векторній формі:

N1	r	D1	0	.
				.

N2	r	D2	0

Загальні рівняння прямої в координатній формі:

A1 x B1 y C1 z D1						0
A x	B	y	C	z D	2	0 .
2	2		2		2

Практична задача часто полягає у зведенні рівнянь прямих в загальному вигляді до канонічному виду.

Для цього потрібно знайти довільну точку прямої і числа m, n, p. При цьому напрямний вектор прямої може бути обчислений як векторний добуток векторів нормалі до заданих площин.

B C

S N1 N2

i m jn kp.

Кут між площинами

Кут між площинами в просторі

пов’язаний з кутом між нормалями до

цих площин

1 співвідношенням:

1 або

=1800- 1, тобто cos = cos 1.

N 2

Визначимо кут 1. Відомо,		що	площини можуть бути задані
співвідношеннями:

N1	r	D1	0	,
				,

N2	r	D2	0

де N1 (A1, B1, C1), N 2 (A2, B2, C2). Кут між векторами нормалі знайдемо з їх скалярного добутку:

cos 1	N1	N2	.
cos 1	N1	N2	.
	N1	N2

Таким чином, кут між площинами знаходиться за формулою:

cos		A1 A2	B1B2			C1C2		.


	A2	B2	C2		A2	B2	C2
1		1	1	2		2	2

Умова паралельності і перпендикулярності площин

Для того, щоб площини були перпендикулярні необхідно і достатньо, щоб косинус кута між площинами дорівнював нулю. Ця умова виконується, якщо:

A1A2

B1B2

C1C2

0 .

Площини паралельні,

якщо

вектори

нормалей колінеарні:

N1 N 2 .Ця

умова виконується, якщо:

Кут між прямими в просторі

Нехай в просторі задані дві прямі. Їх параметричні рівняння:

l1:

S1t

l2:

S2t

r (x, y, z); r1

(x1 , y1 , z1 ); r2

(x2 , y2 , z2 );

(m1 , n1 , p1 ); S2

(m2 , n2 , p2 ).

Кут між прямими

і кут між напрямними векторами

цих прямих

пов’язані співвідношеннями:

або

=1800 - 1. Кут між напрямними

векторами знаходиться із скалярного добутку. Таким чином:

cos

S1 S2

m1m2 n1n2

p1 p2

p 2

Умови паралельності і перпендикулярності прямих в просторі Щоб дві прямі були паралельні необхідно і достатньо, щоб напрямні

вектори цих прямих були колінеарні, тобто їх відповідні координати були пропорційні:

m1	n1	p1	.
			.
m2	n2	p2

Щоб дві прямі були перпендикулярні необхідно і достатньо, щоб напрямні вектори цих прямих були перпендикулярні, тобто косинус кута між ними дорівнює нулю:

	m1m2 n1n2 p1 p2		0.
	Кут між прямою і площиною
Означення. Кутом між прямою і площиною називається будь-який кут
між прямою і її проекцією на цю площину.

Нехай площина	задана рівнянням	N r	D 0 , а пряма -	r	r0 St .	З
геометричних міркувань (див. рис.) видно,		що шуканий кут = 900 -			, де	-

кут між векторами N і S .

N S

Цей кут може бути обчисленим за формулою:

cos

sin

cos

В координатній формі: sin

B 2

C 2

m2 n2

p 2

Умова паралельності і перпендикулярності прямої і площини у просторі Для того, щоб пряма і площина були паралельні, необхідно і достатньо,

щоб вектор нормалі до площини і напрямний вектор прямої були перпендикулярні. Для цього необхідно, щоб їх скалярний добуток дорівнював нулю:


N	S,	N	S 0, sin 0,	Am Bn Cp 0.

Для того, щоб пряма і площина були перпендикулярні, необхідно і достатньо, щоб вектор нормалі до площини і напрямний вектор прямої були колінеарними. Ця умова виконується, якщо векторний добуток цих векторів дорівнював нулю:

N	S 0;	A	B	C .

		m	n	p

Приклади

1. Знайти рівняння площини, яка проходить через дві точки P(2; 0; -1) і Q(1; -1; 3) перпендикулярно площині 3х + 2у – z + 5 = 0.

Розв'язок. Вектор нормалі до площини 3х+2у–z+5=0 N												(3;2; 1) паралельний
до шуканої площини.
Отримаємо:
	x 2 y 0 z 1								x 2 y z 1
	x 2 y 0 z 1								x 2 y z 1
	1	2	1	0	3	1	0,		1	1	4	0
	3		2			1			3	2	1
(x		2)(1	8)		y(1 12) (z			1)( 2 3)			0
	7x 11y			z	15		0

2. Знайти рівняння площини, яка проходить через точки А(2, -1, 4) і В(3, 2, -1) перпендикулярно площині х+у +2z–3 = 0.

Розв'язок. Шукане рівняння площини має вигляд: Ax+By+Cz +D = 0, вектор нормалі до цієї площини n1 (A, B, C). Вектор AB (1, 3, -5) належить площині. Задана

нам площина, перпендикулярна шуканій має вектор нормалі n2 (1, 1, 2). Так як точки А і В належать обом площинам, а площини взаємно перпендикулярні, отже



	i	j	k		3	5		1	5		1	3
	i	j	k

n1 AB n2	1	3	5	i	1	2	j	1	2	k	1	1	11i 7 j 2k .
	1	1	2		1	2		1	2		1	1
	1	1	2

Таким чином, вектор нормалі n1 (11, -7, -2). Так як точка А належить шуканій площині, то її координати мають задовольняти рівнянню цієї площини, тобто: 11 2 + 7 1 - 2 4 + D = 0; D = -21.

Отже, отримаємо рівняння площини: 11x - 7y – 2z – 21 = 0.

3. Знайти рівняння площини, знаючи, що точка Р(4; -3; 12) – основа перпендикуляра, опущеного з початку координат на цю площину.

Розв'язок.

																					4	;		3			12	)

OP (4; 3;12);		OP				16				9		144					169		13,	N (					;
OP (4; 3;12);		OP				16				9		144					169		13,	N (	13		13		;	13


Таким чином, A = 4/13; B = -3/13; C =12/13, скористаємося формулою:
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.
	4		(x	4)				3		( y		3)		12			(z		12)	0

13							13							13
13							13							13
	4		x	16			3			y		9			12	z		144		0

13				13			13					13		13					13
13				13			13					13		13					13
	4		x		3	y			12		z	169					0

13				13			13					13
13				13			13					13
	4x			3y		12 z				169				0.
4. Знайти канонічне рівняння, якщо пряма задана у вигляді:
						2x				y			3z	1			0 .
						5x				4 y			z	7			0

Розв'язок. Для знаходження довільної точки прямої, припустимо що її координата х = 0, а потім підставимо це рівняння в задану систему рівнянь:

		y	3z 1			y	3z 1					y		3z				1 y		2	, тобто А(0, 2, 1).
		4 y z 7			0 12 z 4 z 7 0 z 1														z 1
Знаходимо координати напрямного вектора прямої.
m	B1	C1				11;	n		A1		C1		2			3		17;		p		A1	B1	2	1	13.	Отр
	B1	C1		1 3					A1		C1		2			3						A1	B1	2	1
	B2	C2		4	1				A2		C2		5			1						A2	B2	5	4
	B2	C2		4	1				A2		C2		5			1						A2	B2	5	4
имаємо канонічне рівняння прямої:
										x		y 2			z		1		.
								11				17				13			.
								11				17				13

5. Подані координати вершин трикутника АВС: А (3,3,9), В (2,3,5), С(4,7,5). Знайти:

а) довжину та рівняння медіани ВЕ;

б) довжину висоти ВД; в) внутрішній кут А у радіанах з точністю до 0,01; г) площу трикутника;

д) рівняння прямої , яка проходить через т. Е паралельно прямій ВС.

Розв'язок.

Знайдемо координату точки Е

X A

X C

;

; Z

Z A

;

X E

3,5 ; YE

5 ; Z E

7 .

Рівняння медіани знайдемо за формулою

X B

Z B

X E

X B

Z E

Z B

x 2

z 5

– рівняння медіани BE.

1,5

Довжину медіани ВЕ знаходимо за формулою

X E

X B

2 2

3 2

5 2

3,5

10,25

Координати векторів АВ і АС знаходимо за формулами

AB = (2-3; 3-3; 5-9) = (-1; 0; -4),

AC = (4-3; 7-3; 5-9) = (1; 4; -4).

Внутрішній кут А у радіанах знаходимо за формулою

cos

AB AC /

Вект

1 ( 1) 0 4 ( 4) ( 4) / ( 1)2

( 4)2 * 12 42 ( 4)2 15 / 17 * 33

орний добуток векторів A B і AC знаходимо за формулою:

AB * AC

1 0

4k 4 j 16i 4 j 16i 8 j 4k

	1		1
Знайдемо площу трикутника АВС: S		16 2 ( 8) 2 ( 4) 2			кв. од.
				336

	2		2
	2		2

А Д E С

Довжину сторони АС знаходимо за формулою:


AC	12		42	4 2	1		16	16	33 .

Знайдемо довжину висоти ВД

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 227 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.03.2016328.19 Кб13Маркетинг Заоч. 2013.doc
#
03.03.20161.82 Mб41Маркетинговий менеджмент Ден. Маг. 2014.doc
#
07.11.20182.95 Mб7Математ. конт.работы.doc
#
04.03.20166.4 Mб33Математика для економістів Ден.. 2010 ч.1.pdf
#
04.03.20166.23 Mб27Математика для економістів Заоч. 2010 ч.1.pdf
#
04.03.20165.01 Mб40Математика для економістів Заоч. Ч 1 2015.pdf
#
07.11.20181.05 Mб8Математичн модел у ф нансах Ден. 2009.doc
#
04.03.20161.73 Mб42Математичні моделі в економіці Ден. Маг. 2015 Чупилко.pdf
#
01.03.2025444.93 Кб0МБ_1-50.doc
#
03.03.201610.2 Mб48Международный менеджмент Учебное пособие 2010.doc
#
04.03.2016643.57 Кб34Международный менеджмент. Опорный конспект лекцій 2015.docx