Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Университет таможенного дела и финансов

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика для економістів Заоч. Ч 1 2015

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

04.03.2016

Размер:

5.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Значення функції у цій точці і на кінцях проміжку відповідно

дорівнюють: z(

)

, z(0)

2 , z(1)

3 .

Таким чином, функція приймає найменше значення, що дорівнює

точці з координатою x

(відповідно y

0 ). Аналогічно досліджується

функція на катеті ОВ, найменше значення функції дорівнює

і досягається в

точці з координатою y

(відповідно x

0 ).

Для

дослідження

значень

функції

2x 2

2 y 2

1)2 ( y

1)2

на

гіпотенузі АВ підставимо у функцію

замість

змінної

її

вираз

через

x ,

знайдений з рівняння x

1 прямої АB:

результаті одержуємо

z 3x 2

3(x

1)2

[0;1].

Найменше значення функції на гіпотенузі АВ знаходиться

так само,

як і

на катетах

ОА й

ОВ.

Воно досягається

точці

M 2

(

;

)

дорівнює

Порівнюючи отримані значення функції, одержуємо, що найменше значення,

яке дорівнює

, функції приймає в точці M1

(

;

) .

Завдання

1. Знайти екстремум функції двох змінних:

В. 1 Z x2

xy y 2

3x 6 y.

В. 2 Z 3x2

x3 3y2

4y.

В. 3 Z x2

xy y 2

6x 3y.

В. 4 Z 3x2

4x 3y 2

x3 .

2. Знайти найбільше та найменше значення функції Z в області D.

В. 1

Z x 3y;

D : x2 y 2

В. 2

Z x 2 y 5;

D : x 0; y 0; x y 2.

В. 3

Z 3x 4 y 5;

D : x 0; y 0; x y 1.

В. 4

Z xy;

D : 1 x 1; 2

y 2.

Питання для самоконтролю

1.Що називається найбільшим і найменшим значенням функції з n невідомими?

2.Які достатні умови існування екстремуму функції двох змінних?

3.Записати схему дослідження функції двох змінних на екстремум.

4.У чому полягає метод множників Лагранжа ?

5.За яких умов функція двох змінних називається опуклою вниз?

6.Сформулювати умови існування точки умовного максимуму (мінімуму).

Рекомендована література [1,2,4]

120

Модуль І. Вища математика

Змістовий модуль ІV. Інтегрування функцій. Диференціальні та

різницеві рівняння

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 3 Тема 12. Інтегральне числення

План заняття

1.Первісна функція.

2.Невизначений інтеграл та його властивості.

3.Основні методи інтегрування.

Навчальні цілі. Вивчення теми надасть студентам можливість знати основи інтегрального числення, зокрема поняття невизначеного інтегралу і основні методи інтегрування.

Методичні рекомендації до практичного заняття

Первісна функція

Означення. Функція F(x) називається первісною функцією функції f(x) на відрізку [a,b] , якщо в будь-якій точці цього відрізку виконується рівність:

F (x) = f(x).

Необхідно зазначити, що первісних для однієї і тієї ж функції може бути нескінченно багато. Вони будуть відрізнятись один від одного на деяке постійне число:

F1(x) = F2(x) + C.

Невизначений інтеграл

Означення. Невизначеним інтегралом функції f ( x) називається сукупність первісних функцій, які визначені співвідношенням: F (x) C .

Записують: f (x)dx F (x) C .

Умовою існування невизначеного інтегралу на деякому відрізку є неперервність функції на цьому відрізку.

Властивості:


	f (x)dx (F(x) C) f (x);	2.		f (x)dx f (x)dx;
1.			d
3. dF(x) F (x) C;		4. C f (x)dx C f (x)dx;

5. (u v w)dx udx vdx wdx; де u, v, w – деякі функції від х.

Знаходження значення невизначеного інтегралу пов’язано головним чином зі знаходженням первісної функції.

121

Таблиця основних інтегралів

Інтеграл

Значення

Інтеграл

Значення

tgxdx

-ln cosx +C

+ C

ctgxdx

ln sinx+ C

cos xdx

sinx + C

sin xdx

-cosx + C

ln a

arctg

tgx + C

a 2

x 2

cos 2

x a

-ctgx + C

x 2

a 2

sin 2

x a

x x2 a2

arcsin a

+ C

x 2 a 2

a 2

x 2

x dx

x 1

C, 1

cos x

sin x

Методи інтегрування Розглянемо три основних методи інтегрування.

Безпосереднє інтегрування

Метод безпосереднього інтегрування – інтегрування за допомогою таблиці основних інтегралів та властивостей невизначеного інтеграла. Цей метод застосовується лише для деяких обмежених класів функцій.

Метод заміни змінної (підстановки)

Теорема. Якщо потрібно знайти інтеграл f (x)dx , але важко відшукати, то за допомогою заміни x= (t) і dx= (t)dt отримаємо:

f (x)dx f ( (t)) (t)dt .

Функцію намагаються обирати таким чином, щоб права частина зазначеної формули набула зручного для інтегрування вигляду.

Наприклад. Знайти невизначений інтеграл sin x cos xdx .

Зробимо заміну змінної t = sinx, dt = cosxdt.

	dt t1 / 2 dt	2	t 3 / 2	C	2	sin 3 / 2	x C.
t
		3			3

122

Інтегрування частинами

Якщо u (x) і v (x) - диференційовані функції, то

udv uv vdu .

Ця формула дозволяє знаходити інтеграли багатьох елементарних функцій. Інколи, щоб звести інтеграл до табличного, доводиться застосовувати формулу інтегрування частинами декілька разів.

Можливі такі випадки.

1.	Якщо інтеграл має вигляд	P(x) sin xdx ,	P(x) cos xdx або P(x)e x dx , де
	P(x) - многочлен, то u = P(x) , а dv - вираз, що залишився;
2.	Якщо інтеграл має вигляд	ln xP(x)dx ,	arctgxP(x)dx ,	arcctgxP(x)dx ,
	arcsin xP(x)dx , arccos xP(x)dx ,	де P(x) - многочлен, то		dv = P(x) , а	u -
	вираз, що залишився;
3.	Якщо інтеграл має вигляд	eax sin bxdx ,	eax cos bxdx ,	sin(ln x)dx	або

cos(ln x)dx , то після двократного інтегрування частинами приходимо до

початкового інтегралу з деяким коефіцієнтом. Розв’язок здобутого лінійного рівняння і є первісною для шуканого інтеграла.

Інтегрування елементарних дробів

Означення. Елементарними називаються дроби наступних чотирьох типів:

I.	1		;		III.

	ax b
II.	1			;	IV.

		(ax b) m

Mx N

ax2 bx c ;

Mx N

(ax2 bx c)n

m, n – натуральні числа (m 2, n 2) і b2 – 4ac <0.

Перші два типи інтегралів від елементарних дробів досить просто приводяться до табличних підстановкою t = ax + b.

ax b

II.

(ax b)

a(m 1)t

m 1

a(m 1)(ax b)

m 1

Розглянемо метод інтегрування елементарних дробів виду III.

Інтеграл дробу виду III

Ax B		A		x2

	dx		ln
x2 px q		2

може бути зображений у вигляді:

	2B Ap			2x p
px q			arctg			C	Отримали в

		4q p2			4q p2

загальному вигляді зведення інтегралу дробу виду III до двох табличних інтегралів.

123

Розглянемо застосування зазначеної вище формули на прикладі:

		7x 2						84 x 24												84 x	24				u 6x 5;						du 6dx;
		7x 2						84 x 24												84 x	24
						dx									dx									dx			u 5
						dx	36 x 2 60 x 48								dx				(6x 5)2					dx			u 5
3x 2 5x 4																							23		x					;
3x 2 5x 4																							23		x					;
																										6
1			14u 70 24				7					udu			23					du	7	ln( u 2				23						u
							du																		23)				arctg				C Взагал
6				u 2	23			3			u 2 23					3			u 2	23	6					3
6				u 2	23			3			u 2 23					3			u 2	23	6					3		23				23

	7	ln		36 x 2	60 x 48					23			arctg	6x			5	C.
	7									23				6x			5

6									3
															23
															23

і, якщо у трьохчлена ax2 + bx + c вираз b2 – 4ac >0, то дріб за означенням не є елементарною, однак, її можна інтегрувати зазначеним вище способом.

Інтегрування дробів IV типу наведено в [1].

Інтегрування раціональних функцій Інтегрування раціональних дробів

Для того, щоб проінтегрувати раціональний дріб необхідно розкласти її на елементарні дроби.

Теорема. Якщо R(x)	Q(x)	- правильний раціональний дріб, знаменник
	P(x)

P(x) якої є добутком лінійних і квадратичних множників (відмітимо, що будьякий многочлен з дійсними коефіцієнтами може бути записано в такому виді: P(x)=(x-a) …(x-b) (x2+px+q) …(x2+rx+s) ), то цей дріб може бути розкладений на елементарні за наступною схемою:

Q(x)

...

P(x)

x a

(x a)2

(x a)

(x b)

(x b)2

(x b)

M 2 x N 2

...

M x N

...

R1 x S1

R2 x S2

...

(x 2

px q)2

(x 2 px q)

x 2 rx s

(x 2 rx s)2

		M 1 x N1
		x 2 px q
			де
		R x S

(x 2 rx s)

Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si – деякі постійні величини.

При інтегруванні раціональних дробів застосовують розклад початкового дробу на елементарні. Для знаходження величин Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si застосовують так званий метод невизначених коефіцієнтів, суть якого полягає в тому, що для того, щоб два многочлена були тотожньо рівні, необхідно і достатньо, щоб були рівні коефіцієнти при однакових степенях х.

Застосування цього методу розглянемо на конкретному прикладі:

Обчислити інтеграл:

9x3 30 x2 28x 88

6x 8)(x

Так як ( x2 6x 8)(x2

4) (x 2)(x 4)(x2

4) , то

9x3 30 x2 28x 88

Cx D

(x 2)(x 4)(x2 4)

x 4

124

t tg 2x . Ця

Приводячи до спільного знаменника і прирівнюючи відповідні чисельники, отримаємо:

A(x 4)(x2 4) B(x 2)(x2 4) (Cx D)(x2 6x 8) 9x3 30x2 28x 88

( A B C)x3 ( 4A 2B 6C D)x2 (4A 4B 8C 6D)x ( 16 A 8B 8D)9x3 30 x2 28x 88.

A B C 9		C 9 A B
			4 A 2B 54 6 A 6B
4 A 2B 6C D 30		D 30	4 A 2B 54 6 A 6B

4 A 4B 8C	6D 28	2 A 2B	4C 3D 14

16 A 8B 8D 88		2 A B D 11

C 9 A B
	2 A 4B
D 24

2 A 2B 36 4 A 4B 72 6 A 12 B 14
	24 2 A 4B 11
2 A B

C 9 A B

D 24 2 A 4B4 A 10 B 504 A 5B 35

C 9 A B

D 24 2 A 4B4 A 10 B 50

50 10 B 5B 35

C 9 A B
	2 A 4B
D 24

4 A 10 B 50B 3

A 5B 3C 1

D 2

Отже:

		5		dx		3		dx		x 2				dx 5 ln	x 2		3ln		x 4			x	dx			2	dx
		5				3				x 2												x				2

	x	2				x 4				x		2	4							x	2	4		x	2	4
												2									2				2

									1		ln( x 2			4) arctg		x
5 ln			x 2		3ln		x 4		1							x		C.
5 ln			x 2		3ln		x 4											C.
									2					2
									2					2

Інтегрування деяких тригонометричних функцій

Інтеграл виду R(sin x, cos x)dx .

Тут R – деяка раціональна функція від змінних sin x і cos x .

Інтеграли цього виду обчислюються за допомогою підстановки підстановка дозволяє перетворити тригонометричну функцію в раціональну.

2tg

1 tg

2 x

1 t

sin x

cos x

;

2 x

t 2

2 x

1 t 2

1 tg

Тоді

x 2arctgt;

2dt

;

1 t 2

1 t

r(t)dt.

2 dt

Таким чином: R(sin x, cos x)dx R

1 t

125

Зазначене перетворення називається універсальною тригонометричною підстановкою.

Наприклад. Обчислити інтеграл:

2dt

1 t 2

4 sin x 3cos x 5

1 t

8t 3

8t 8

1 t 2

4t 4

За допомогою цієї підстановки завжди можна перевести тригонометричну функцію в раціональну і обчислити відповідний інтеграл. До недоліків можна віднести те, що при перетворенні може утворитись достатньо складна раціональна функція.

Інтегрування деяких ірраціональних функцій

Далеко не кожна ірраціональна функція може мати інтеграл, виражений елементарними функціями. Для знаходження інтеграла від ірраціональної функції слід застосовувати підстановку, яка дозволить перетворити функцію в раціональну, інтеграл від якої може бути знайдено, як відомо, завжди.

Розглянемо деякі підстановки для інтегрування різних типів ірраціональних функцій.

ax b

Інтеграл виду R x, n

де n- натуральне число.

cx d

За допомогою підстановки

ax b

функція раціоналізується.

cx d

ax b

t n b

t n ;

;

dt;

cx d

a ct

Тоді R x, n

			t n b
ax b
	dx	R

				n
cx d		a ct

t n b ,t

a ct n

dt r(t)dt.

Наприклад. Обчислити інтеграл:

2dx

4 1

2x t;

;

t 2

t 1

1 2x 4 1 2x

4 4 1 2x 3

2t 3

2 t

dt 2 tdt 2

dt t

2 1

dt t

2t 2 ln

t 1

1 2x 24 1 2x 2 ln 41 2x 1 C.

126

Якщо до складу ірраціональної функції входять корені різних степенів, то в якості нової змінної доцільно взяти корені степеня, що дорівнює найменшому спільному кратному степенів корнів, що входять у вираз. Проілюструємо це на прикладі.

Наприклад. Обчислити інтеграл:

x 1

x 1 t; x

1 t

)12t

;

(x 1) 1 6 x 1

12t11dt;

t12 (1 t 2 )

t 2 1

t 2

tdt

dt 12

tdt 12

t 1

6t 2

12t 6 ln( t 2 1) 12arctgt C 66

x 1 1212 x 1 6 ln( 6

x 1 1)

12arctg12 x 1 C.

Інтеграли виду R x, ax2 bx c dx .

Існує декілька способів інтегрування такого роду функцій. В залежності від виду виразу, що стоїть під знаком кореня, обирають той чи інший спосіб.

Як відомо, квадратний трьохчлен шляхом виділення повного квадрату може бути зведений до вигляду: u 2 m 2 .

Таким чином, інтеграл зводиться до одного з трьох видів:

1) R(u,

m 2 u 2 )du;

2) R(u,

m 2 u 2 )du;

3) R(u,

u 2 m 2 )du;

1 спосіб. Тригонометрична підстановка.

R(u,

u msin t

Теорема.

Інтеграл

виду

m 2 u 2 )du

підстановкою

або

u m cos t зводиться до інтегралу від раціональної функції відносно

sin x

або

cos x (див. приклади)

Теорема. Інтеграл виду R(u,

)du підстановкою u mtgt або

m 2

u 2

u mctgt зводиться до інтегралу від раціональної функції відносно sin x

і cos x .

Наприклад.

x atgt; dx

dt;

cos 3 tdt

(1 sin 2 t)d sin t

cos 2 t

a cos tdt

x 4

cos 2 ta 4tg 4ta

a 4 sin 4 t

a 4

sin 4 t

a 2 x 2

;

cos t

)

3 / 2

C sin t

3a 4 sin 3 t

a 4

a 2 x 2

3a 4 x3

a 4 x

a 2 x

sin t

127

)du підстановкою u

Теорема. Інтеграл виду R(u, u 2

m 2

або

sin t

зводиться до інтегралу від раціональної функції відносно sin t або cos t .

cos t

Наприклад.

; dx

2sin t

dt;

2sin t cos tdt

cos t

cos

ctg

tdt

x(x2 4)5 / 2

cos

2 t 2 25 tg 5t

2tgt;

ctg

1 dt

ctg

td (ctgt)

ctg

tdt

ctg t

1 dt

sin

ctg 3t

ctgt

3 / 2

x2 4

12(x

arccos

2 спосіб. Підстановки Ейлера.

R(x,

1) Якщо

а>0,

то

інтеграл виду

ax2

bx c )dx раціоналізується

підстановкою

ax2 bx c t x a .

R(x,

2) Якщо a<0 і c>0, то інтеграл виду

ax2 bx c )dx

раціоналізується

ax2

bx c tx

підстановкою

c .

3) Якщо a<0 , а підкорений вираз розкладається на дійсні множники a(x–x1)(x– x2), то інтеграл виду R(x, ax2 bx c )dx раціоналізується підстановкою

ax2 bx c t(x x1 ) .

3 спосіб. Метод невизначених коефіцієнтів.

Розглянемо інтеграли наступних трьох типів:

P(x)dx

II. P(x)

III.

;

ax2 bx cdx;

;

ax2

(x )n

ax2 bx c

де P(x) – многочлен, n – натуральне число.

Причому інтеграли II і III типів можуть бути легко зведені до виду інтегралу I типу.

Надалі виконується наступне перетворення:

P(x)dx

Q(x) ax2

bx c

;

ax2 bx c

в цьому виразу Q(x) - деякий многочлен, степінь якого нижче степеня многочлена P(x), а - деяка постійна величина.

128

Для знаходження невизначених коефіцієнтів многочлена Q(x), степінь якого нижче степеня многочлена P(x), диференціюють обидві частини


отриманого виразу, потім множать на	ax2		bx c і, порівнюючи коефіцієнти
при однакових степенях х, визначають і коефіцієнти многочлена Q(x).
Приклади
Обчислити інтеграли:
1. (x 2 2 sin x 1)dx x 2 dx 2 sin xdx dx	1	x3	2 cos x x C;
1. (x 2 2 sin x 1)dx x 2 dx 2 sin xdx dx	3	x3	2 cos x x C;
	3

2. x 2 sin xdx

u x 2 ;

dv sin xdx;

x 2 cos x cos x 2xdx

du 2xdx;

v cos x

u x;

dv cos xdx;

cos x 2 x sin x sin xdx x2 cos x 2x sin x 2 cos x C. 3.

dx;

v sin x

e2 x

u e2 x ;

du 2e2 x dx;

e2 x sin x sin x 2e2 x dx

cos xdx

dv cos xdx;

v sin x

u e2 x ;

du 2e2 x dx;

e2 x sin x 2 e2 x cos x cos x 2e2 x dx e2 x sin x

sin xdx;

v cos x;

2e2 x

cos x 4 cos xe2 x dx

5 e2 x cos xdx e2 x (sin x 2 cos x)

e2 x

cos xdx

e2 x

(sin x 2 cos x) C.

u x 2 ;

dv e5 x dx;

x 2 e

5 x

2xdx

du 2xdx;

;

u x;

dv e5 x dx;

x2e5 x

xe5 x

x2e5 x

2xe5 x

5 x

dx;

5 x

;

x2e5 x

2xe5 x

2e5 x

e5 x

125

dx d (x

d (x 1)

x 1

x 2 2x 8

x 2 2x 1 9

9 (x 1)2

arcsin

C arcsin

x 1

32 t 2

u ln x;

dx;

ln x

1 dx

ln x

2x 2

dx;

;

129

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.03.2016328.19 Кб13Маркетинг Заоч. 2013.doc
#
03.03.20161.82 Mб41Маркетинговий менеджмент Ден. Маг. 2014.doc
#
07.11.20182.95 Mб7Математ. конт.работы.doc
#
04.03.20166.4 Mб33Математика для економістів Ден.. 2010 ч.1.pdf
#
04.03.20166.23 Mб27Математика для економістів Заоч. 2010 ч.1.pdf
#
04.03.20165.01 Mб40Математика для економістів Заоч. Ч 1 2015.pdf
#
07.11.20181.05 Mб8Математичн модел у ф нансах Ден. 2009.doc
#
04.03.20161.73 Mб42Математичні моделі в економіці Ден. Маг. 2015 Чупилко.pdf
#
01.03.2025444.93 Кб0МБ_1-50.doc
#
03.03.201610.2 Mб48Международный менеджмент Учебное пособие 2010.doc
#
04.03.2016643.57 Кб34Международный менеджмент. Опорный конспект лекцій 2015.docx