орлов эконометрика

Отношение ковариации вектора (X,Y) к про-

изведению средних квадратических отклоне-

ний σ(X) и σ(У) случайных величин Х и У.

Если Y = aX+b, то |r(X,Y)| = 1. Верно и обратное: если

|r(X,Y)| = 1, то Y = aX+b..

Квадратная матрица ||rij|| порядка k, в которой

Корреляционная матрица симметрична, на главной

диагонали стоят единицы.

чайного вектора X = (X1, X2,...., Xk), i,j =

Частными видами наблюдения являются измерение,

испытание, анализ, опыт, проверка и т.д.

Результат наблюдения может быть числом, вектором,

элементом конечного множества или математическим

объектом иной природы.

Выборка - совокупность чисел или векторов, или ма-

тематических объектов иной природы, соответствую-

щих изучаемым реальным объектам наблюдения.

Объем выборки

Число результатов наблюдений, включенных

Объем выборки обычно обозначают n.

в выборку.

Вероятностная

Вероятностная модель получения результатов

Примерами вероятностных моделей выборок являют-

модель выборки

наблюдений, включаемых в выборку.

ся простая случайная выборка и случайная выборка из

конечной совокупности.

Выборка, в которой результаты наблюдений

Если результаты наблюдений имеют распределение F,

чайная выборка

моделируются как совокупность независимых

то говорят, что "выборка извлечена из распределения

одинаково распределенных случайных эле-

F".

ментов.

Выборка объема n, в которую включены ре-

Если N - число объектов конечной совокупности, то

борка из конеч-

зультаты наблюдений над объектами, отби-

для получения случайной выборки объема n из этой

ной совокупно-

раемыми из конечной совокупности так, что

совокупности, n < N, отбор объектов для проведения

любой набор n объектов имеет одинаковую

наблюдений должен проводиться так, чтобы любой

вероятность быть отобранным.

набор из n объектов имел одну и ту же вероятность

быть отобранным, равную n!(N-n)!/ N!, т.е. обратной

величине к числу сочетаний из N элементов по n.

Измеримая функция результатов наблюдений,

Статистики используются для описания данных, оце-

включенных в выборку, используемая для

нивания, проверки гипотез. Статистика, как функция

получения статистических выводов.

случайного элемента, является случайным элементом.

Статистика принимает значения в некотором измери-

мом пространстве (Z,J), своем для каждой статистики.

2.2. Описание данных

Отношение числа наблюдений, в которых

осуществилось событие, к объему выборки.

Эмпирическое

Распределение случайного элемента, в кото-

Если в выборку включены результаты наблюдений x1,

распределение

ром каждому результату наблюдения, вклю-

x2,...., xn, то эмпирическое распределение - это рас-

ченному в выборку, соответствует одна и та

пределение случайной величины Х такой, что Р(Х= xi)

же вероятность, равная обратной величине

= 1/n, i = 1,2,..., n. Если несколько результатов наблю-

объема выборки.

дений совпадают: x1 = x2 =.... = xk = a, то полагают

Р(Х=а) = k/n.

Эмпирическая

Функция эмпирического распределения.

Определена, когда результаты наблюдений - числа

или вектора (функции распределения по пп.1.2.2 и

пределения

1.3.2 соответственно).

Выборочное

Сумма результатов наблюдений, включенных

Выборочное среднее арифметическое равно матема-

в выборку, деленная на ее объем.

тическому ожиданию случайной величины, имеющей

метическое

эмпирическое распределение.

Выборочная

Сумма квадратов отклонений результатов на-

Выборочная дисперсия

блюдений, включенных в выборку, от их вы-

n

борочного среднего арифметического, делен-

s2 = 1/n ∑ (хi - xср)2-,

i=1

ная на объем выборки.

где x1, x2,...., xn - результаты наблюдений, включен-

ные в выборку; xср - выборочное среднее арифметиче-

ское,

n

xср = 1/n ∑ хi.

i=1

Выборочная дисперсия равна дисперсии случайной

величины, имеющей эмпирическое распределение.

Выборочное

Неотрицательный квадратный корень из вы-

среднее квадра-

борочной дисперсии.

тическое откло-

нение

Выборочный

Момент порядка q случайной величины,

n

момент порядка

имеющей эмпирическое распределение.

∑ хiq, где хi по п.2.2.5.

i=1

q

Выборочный

Центральный момент порядка q случайной

n

центральный

величины, имеющей эмпирическое распреде-

∑ (хi - xср)q , где хi и xср по п.2.2.5.

i=1

ление.

момент порядка

q

k-я порядковая

k-й элемент x(k) в вариационном ряду, полу-

статистика

ченном из выборки объема n, элементы кото-

рой x1, x2,...., xn расположены в порядке не-

убывания: x(1)≤x(2) ≤... ≤ x(k) ≤... ≤x(n).

Размах выборки

Разность между наибольшим и наименьшим

Если x(1) и x(n) - первая и n-ая порядковые статистики

значениями результатов наблюдений в выбор-

ке.

Выборочная

Ковариация двумерного случайного вектора,

Если (xi, yi), i=1,2,....,n, - результаты наблюдений,

ковариация

имеющего эмпирическое распределение.

включенные в выборку, то выборочная ковариация

равна 1/n ∑ (хi -

Выборочная

Ковариационная матрица случайного вектора,

На главной диагонали выборочной ковариационной

ковариационная

имеющего эмпирическое распределение.

матрицы стоят выборочные дисперсии по п.2.2.5, а вне

матрица

п.2.2.11.

Выборочный

Коэффициент корреляции двумерного слу-

коэффициент

чайного вектора, имеющего эмпирическое

распределение.

корреляции

Выборочная

Корреляционная матрица случайного вектора,

корреляционной

корреляционная

имеющего эмпирическое распределение.

матрицы стоят 1, а вне главной диагонали - выбороч-

матрица

ные коэффициенты корреляции по п.2.2.13.

Выборочный

Отношение выборочного среднего квадрати-

Выборочный коэффициент вариации используют, ко-

коэффициент

ческого отклонения к выборочному среднему

гда результаты наблюдений положительны.

вариации

Оценивание

интересующей

Составляющими вероятностных моделей могут быть:

вероятностной

значение параметра распределения; характеристика

модели явления (процесса) по выборке.

распределения (математическое ожидание, коэффици-

ент вариации и др.); функция распределения; плот-

ность вероятности; регрессионная зависимость, и т.д.

Оценка

Результат оценивания по конкретной выборке.

Оценка является статистикой, а потому случайным

элементом, в частных случаях - случайной величиной

или случайным вектором.

Точечное оце-

Вид оценивания, при котором для оценивания

нивание

используется одно определенное значение.

Доверительное

Вид оценивания, при котором для оценивания

Рассматриваемое множество лежит в пространстве

оценивание

возможных состояний оцениваемой составляющей

вероятностной модели явления (процесса).

Доверительное

Определяемое по выборке множество в про-

Доверительное множество является случайным мно-

странстве возможных состояний оцениваемой

жеством.

составляющей, используемое при доверитель-

ном оценивании.

Доверительная

Вероятность того, что доверительное множе-

В конкретных задачах оценивания для фиксирован-

вероятность

ство содержит действительное значение оце-

ных доверительных вероятностей строят соответст-

ниваемой составляющей.

вующие доверительные множества.

Доверительный

Доверительное множество, являющееся ин-

Интервалы могут быть как ограниченными, так и не-

тервалом.

ограниченными (лучами).

Доверительные

Концы (границы) доверительного интервала.

дове-

Граница доверительного интервала, являюще-

Для доверительного интервала (-∞; a) верхней довери-

гра-

гося лучом, не ограниченным снизу.

тельной границей является число a.

дове-

Граница доверительного интервала, являюще-

Различие верхних, нижних и двусторонних довери-

гра-

гося лучом, не ограниченным сверху.

тельных границ необходимо учитывать при проведе-

нии конкретных расчетов, т.к. часто все виды границ

определяются с помощью одних и тех же таблиц.

Двусторонние

Границы ограниченного (и сверху, и снизу)

Для двусторонних границ (T1;T2) с вероятностью 1

доверительные

доверительного интервала

справедливо неравенство T1≤T2.

2.4. Проверка статистических гипотез

Статистическая

Определенное предположение о свойствах

гипотеза

распределений случайных элементов, лежа-

щих в основе наблюдаемых случайных явле-

ний (процессов).

Нулевая гипоте-

Статистическая гипотеза, подлежащая про-

Из возможных статистических гипотез в качестве ну-

за

верке по статистическим данным (результатам

левой выбирают ту, прннятие справедливости которой

наблюдений, вошедшим в выборку).

наиболее важно для дальнейших выводов.

Альтернативная

Статистическая гипотеза, которая считается

Сокращенная форма - альтернатива.

гипотеза

справедливой, если нулевая гипотеза неверна.

Статистический

Правило, по которому на основе результатов

Принимаемое решение может однозначно определять-

критерий

наблюдений принимается решение о приня-

ся по результатам наблюдений (нерандомизированный

тии или отклонении нулевой гипотезы.

критерий) или в некоторой степени зависеть от случая

(рандомизированный критерий).

Статистика

Статистика, на основе которой сформулиро-

Как правило, нерандомизированный статистический

критерия

вано решающее правило.

критерий основан на статистике критерия, прини-

мающей числовые значения.

Критическая

Область в пространстве возможных выборок

Если статистический критерий основан на статистике

область стати-

со следующими свойствами: если наблюдае-

критерия, то критическая область статистического

стического кри-

мая выборка принадлежит данной области, то

критерия однозначно определяется по критической

терия

отвергают нулевую гипотезу (и принимают

области статистики критерия.

альтернативную), в противном случае ее при-

Краткая форма: критическая область.

нимают (и отвергают альтернативную).

Критическая

Множество чисел такое, что при попадании в

Краткая форма: критическая область.

него статистики критерия нулевую гипотезу

стики критерия

отвергают, в противном случае принимают.

Критические

Границы (концы) одного или двух интерва-

Критическими значениями являются одно или два из

лов, составляющих критическую область ста-

чисел t1, t2 в случае, если критическая область имеет

тистики критерия.

вид {Tn<t1}, {Tn>t1} или {Tn<t1} {Tn>t2}, где Tn -

статистика критерия.

Ошибка, заключающаяся в том, что нулевую

гипотезу отвергают, в то время как в действи-

тельности эта гипотеза верна.

Вероятность ошибки первого рода или точная

Если нулевая гипотеза является сложной (например,

верхняя грань таких вероятностей.

задается с помощью множества параметров Θ0), то

вероятность ошибки первого рода может быть не чис-

лом (α), а функцией (α(θ0), θ0Θ0). В качестве уровня

значимости берут точную верхнюю грань значений

указанной функции:

α= sup α(θo).

θo Θo

Ошибка, заключающаяся в том, что нулевую

гипотезу принимают, в то время как в дейст-

вительности эта гипотеза неверна (а верна

альтернативная гипотеза).

кри-

Вероятность того, что нулевая гипотеза будет

Мощность критерия является однозначной действи-

отвергнута, если альтернативная гипотеза

тельной функцией, определенной на составляющем

верна.

альтернативу множестве гипотез, заданном в конкрет-

ной задаче статистической проверки гипотез, в част-

ности, на параметрическом множестве, соответст-

вующем альтернативным гипотезам.

мощ-

Функция, определяющая вероятность того,

Функция мощности критерия задана на множестве

ности статисти-

что нулевая гипотеза будет отклонена.

всех гипотез, используемых в конкретной задаче ста-

ческого крите-

тистической проверки гипотез. Сужением ее на нуле-

вую гипотезу является функция, задающая вероят-

ность ошибки первого рода. Сужением ее на альтерна-

тиву является мощность критерия.

Оперативная

Функция, определяющая вероятность того,

Оперативная характеристика - дополнение до едини-

характеристика

что нулевая гипотеза будет принята.

цы функции мощности статистического критерия.

статистического

со-

Критерий проверки гипотезы согласия, т.е.

того, что функция распределения результатов

наблюдения, включенных в простую случай-