орлов эконометрика

Термины

Определения

Примечания

1. Теория вероятностей

1.1. Общие понятия

Пространство

Множество, элементы которого, называемые

Пространство элементарных событий Ω = {ω} лежит в

элементарных

элементарными событиями, соответствуют

основе вероятностных моделей явлений (процессов).

событий

возможным результатам наблюдения, измере-

Вместо явного описания пространства элементарных

ния, анализа, проверки, исходам опыта, экс-

событий часто используют косвенное или частичное

перимента, испытания.

описание, например, с помощью распределений слу-

чайных величин.

Случайное со-

Измеримое подмножество пространства эле-

Термин "измеримое" понимают в смысле теории из-

бытие

ментарных событий.

меримых множеств. Случайные события образуют σ-

алгебру G.

Вероятностная

Сигма-аддитивная мера P, определенная на

Вероятностная мера P - функция, ставящая в соответ-

мера

всех случайных событиях и такая, что P(Ω) =

ствие каждому случайному событию A его вероят-

1, где Ω - пространство элементарных собы-

ность P(A). Термин "мера" понимают в смысле мате-

тий

матической теории меры. Синонимы: вероятностное

распределение, распределение вероятностей, распре-

деление, вероятность на пространстве элементарных

событий.

Вероятностное

Совокупность {W, G, P} пространства элемен-

Вероятностное пространство (синоним: поле вероят-

пространство

тарных событий W, класса случайных собы-

ностей) - основной исходный объект теории вероятно-

тий G и вероятностной меры P.

вероятностных моделей реальных явлений

(процессов).

Вероятность

Значение P(A) вероятностной меры P на слу-

В силу закона больших чисел частота реализации со-

события A

чайном событии A.

бытия A при неограниченном увеличении числа неза-

висимых повторений одного и того же комплекса ус-

ловий, описываемого вероятностным пространством

{W, G, P}, стремится к вероятности этого события

P(A), т.е. для любого e > 0

P { | m/n - p | £ e } = 1,

- частота, p - вероятность события A, n - число

повторений. Это свойство нельзя принимать за опре-

деление вероятности события в математической тео-

рии вероятностей. Оно указывает способ оценивания

вероятности по опытным данным.

Независимость

Случайные события А и В являются незави-

Общематематическое понятие пересечения множеств

случайных со-

симыми, если Р(АВ) = Р(А)Р(В), где АВ - пе-

АÇВ в теории вероятностей по традиции эквивалент-

бытий

ресечение множеств А и В (произведение со-

но понятию произведения событий АВ.

бытий А и В). Случайные события А1, А2,...,

Аn называются независимыми (в совокупно-

сти), если Р(А1А2...Аn) = Р(А1)Р(А2)...Р(Аn) и

аналогичные равенства справедливы для всех

поднаборов этих событий А(1), А(2),..., А(k),

2≤k≤n -1.

Случайный

Измеримая функция, определенная на вероят-

Случайный элемент Х принимает значения в измери-

элемент

ностном пространстве.

мом пространстве (Z,J), где Z - пространство значений

Х, а J - класс измеримых подмножеств Z; при этом для

любого QЄJ множество Х-1(Q) является случайным

событием.

Если Z - множество действительных чисел R1, то слу-

чайный элемент Х называют случайной величиной.

Если Z = Rk - конечномерное векторное пространство

размерности k=2,3,...., то случайный элемент Х назы-

вают случайным вектором.

Распределение

Функция множества, задающая вероятность

Для случайного элемента Х, определенного на вероят-

случайного

принадлежности случайного элемента изме-

ностном пространстве {Ω, G, P} со значениями в из-

элемента

римому подмножеству его области значений.

меримом пространстве (Z,J), его распределение P1:J -

→ [0,1] задается формулой P1 (Q) = P (Х-1(Q)), QЄJ.

Дискретный

Случайный элемент, область значений кото-

Распределение случайного элемента Х, принимающе-

случайный эле-

рого состоит из конечного или счетного мно-

го только значения х1, х2,..., полностью описывается

мент

жества точек.

числами рi = P(X=хi), i = 1,2,..., причем р1 + р2 +... = 1.

Параметриче-

Функция, определенная на параметрическом

Параметр может быть одномерным или конечномер-

ское семейство

пространстве (подмножестве конечномерного

ным. Вместо "зависимость от k-мерного параметра"

распределений

векторного пространства), которая каждому

значению параметра (числу или вектору, вхо-

дящему в параметрическое пространство) ста-

вит в соответствие распределение случайного

Независимость

Определенные на одном и том же вероятност-

Для случайных величин и векторов, имеющих плотно-

случайных эле-

ном пространстве случайные элементы X1,

сти вероятности, независимость эквивалентна тому,

ментов

Хk)

слу-

ственно называются независимыми, если для

имеем

Результаты экспериментов, которые проведены неза-

висимо друг от друга, как правило, моделируются с

Вероятностная

Математическая модель явления (процесса), в

Установление (формулировка) исходной вероятност-

модель явления

которой использованы понятия теории веро-

ной модели - необходимый первый этап для примене-

(процесса)

1.2. Случайная величина

Однозначная действительная измеримая

Однозначная действительная функция X:Ω→R1 явля-

функция на вероятностном пространстве.

ется случайной величиной, если для любого хЄR1

множество {ω:X(ω) ≤ x} является случайным событи-

ем. Случайная величина - это случайный элемент со

значениями в R1. (Здесь R1 - множество действитель-

ных чисел.)

Функция, определяющая для всех действи-

Функция распределения F(x) = P(X < x) = P{ω:X(ω) <

тельных чисел х вероятность того, что слу-

x}. Функция распределения непрерывна слева.

чайная величина Х принимает значения,

Примечание. Иногда функцию распределения опреде-

меньшие х.

ляют как F(x) = P(X < x) = P{ω:X(ω) < x}. Тогда она

непрерывна справа.

Функция p(t) такая, что

Сокращенная форма: плотность.

х

F(x) = ∫ p(t) dt

-∞

при всех х, где F(x) - функция распределения

рассматриваемой случайной величины.

Непрерывная

Случайная величина, функция распределения

которой при всех действительных x непре-

рывна.

Значение случайной величины, для которого

Число хр - квантиль порядка р для случайной величи-

функция распределения принимает значение p

ны с функцией распределения F(x) тогда и только то-

или имеет место "скачок" со значения меньше

гда, когда

p до значения больше p.

lim x→хр+0 F(x)³p, F(хр)£p.

Может случиться, что вышеуказанное условие выпол-

няется для всех значений х, принадлежащих некото-

рому интервалу. Тогда каждое такое значение называ-

ется квантилью порядка р.

Примечание. Одни авторы употребляют термин "кван-

тиль" в мужском роде, другие - в женском.

Квантиль порядка p = 1/2.

Значение случайной величины, соответст-

Мод у непрерывной случайной величины может быть

рывной случай-

вующее локальному максимуму ее плотности

несколько (конечное число или бесконечно много).

ной величины

вероятности.

Краткая форма термина: мода.

Математиче-

Среднее взвешенное по вероятностям значе-

Математическое ожидание обозначают М(Х), Е(Х),

ское ожидание

ние случайной величины X(w), т.е.

МХ, ЕХ и др. Рекомендуемое обозначение: М(Х). При

этом

Ω

Ω

+ ∞

∫ t p(t) dt

− ∞

где F(x) - функция распределения, а p(t) - плотность

вероятности случайной величины Х = X(ω).

Математическое ожидание существует не для всех

случайных величин Х. Для существования математи-

ческого ожидания необходимо и достаточно абсолют-

ной сходимости соответствующего интеграла.

Математическое ожидание квадрата разности

величины Х дисперсия D(X) =

ве-

между случайной величиной и ее математиче-

σ2=σ2(X)=М(X-М(X))2. Дисперсия равна 0 тогда и

ским ожиданием.

только тогда когда Р(Х=а)=1 для некоторого а.

квад-

Неотрицательный квадратный корень из дис-

от-

персии.

Коэффициент

Отношение среднего квадратического откло-

Применяется для положительных случайных величин

нения к математическому ожиданию.

как показатель разброса.

поряд-

Математическое ожидание случайной вели-

ка q (случайной

чины Xq.

Центральный

Математическое ожидание случайной вели-

Дисперсия - центральный момент порядка 2.

момент порядка

чины (X-М(X))q, где М(Х) - математическое

(случайной

ожидание Х.

величины X)

Характеристи-

Функция от tЄR1 , при каждом t равная мате-

ческая функция

матическому ожиданию случайной величины

eitX, где i - мнимая единица, e - основание

натуральных логарифмов.

1.3. Случайный вектор

Случайный век-

Однозначная измеримая функция на вероят-

Случайный вектор Х - это случайный элемент со зна-

ностном пространстве со значениями в конеч-

чениями в Rk, т.е. X = X(ω) = (X (ω), X (ω),...., X (ω)),

номерном евклидовом пространстве Rk.

где Xi(ω), i = 1,2,...,k, - случайные величины, заданные

на одном и том же вероятностном пространстве.

Функция распределения F(x1, x2,...., xk) слу-

чайного вектора X(ω) = (X1(ω), X2(ω),....,

Xk(ω)) удовлетворяет равенству

F(x1, x2,...., xk) =

P (X1<x1, X2<x2,..., Xk<xk) = P{ ω:X1(ω)< x1,

X2(ω)< x2,..., Xk(ω)< xk).

Функция p(x) такая, что

роятности (слу-

P(X A) = ∫ p(x) dx

чайного векто-

А

для случайного вектора X = X(ω) и любого

борелевского подмножества А конечномерно-

го евклидова пространства Rk.

Математиче-

Вектор, компоненты которого - математиче-

Математическое ожидание случайного вектора X =

ожидание

ские ожидания компонент случайного векто-

(X1, X2,...., Xk) есть (М(X1), М(X2),...., М(Xk)), где

случайного век-

М(Xi) - математическое ожидание случайной величи-

ны Xi, являющейся i - ой компонентой случайного

вектора X, i = 1,2,...,k.

Ковариация

Ковариацией вектора (X,Y) называется мате-

cov(X,Y) = М (X - М(X))(Y - М(Y)) ;

(для двумерного

матическое ожидание случайной величины

если X = Y, то cov(X,Y) = D(X) - дисперсия X.

вектора)

(X - МX))(Y - М(Y)), где М(X) и М(Y) - мате-

матические ожидания случайных величин X и

Ковариацион-

Квадратная матрица ||cij|| порядка k, в которой

Ковариационная матрица симметрична, на главной

матрица

c - ковариация двумерного вектора (X , X ),

диагонали стоят дисперсии Xi - компонент X, i =

i j

случайного век-

и X - компоненты случайного вектора

1,2,...,k.

j

X = (X1, X2,...., Xk), i,j = 1,2,...,k.