§3. Бесконечные и односторонние производные

I Бесконечные производные

Определение 1.Говорят, что функцияимеет в точкеx₀ бесконечную производную, если

.

При этом пишут или.

Пример 1.,:

.

II Односторонние производные

Определение 2.Праваяи леваяпроизводные функциив точкеx₀, определяются равенствами:

и .

Из общих теорем о пределах можно получить такую теорему.

Теорема 1.Функцияимеет в точкеx₀ производную тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке равные друг другу односторонние производные.

Пример 2.Для функциинайти правую и левую производную в нуле.

,

.

Так как , тоне существует.

Следующая теорема позволяет в некоторых случаях упростить вычисление односторонних производных.

Теорема 2.Пусть функцияимеет в интервалеконечную производную, причем, существует (конечный или нет). Тогда в точкеx₀ существует правая производная и.

Аналогичное утверждение имеет место и для левой производной.

В §2была вычислена производная функциидля:. Результат примера 1 () с помощью теоремы 2 получается моментально:

.

Аналогично получается и . Совпадение односторонних производных означает, что и.

Замечание.Если у функциисуществуют конечные, не равные друг другу производныеи, то у графика функции имеются не совпадающие правая и левая касательные в точке. Такая точка графика называется угловой. Если же производная (хотя бы односторонняя) равна+или, то это означает, что у графика имеется вертикальная касательная.

§4. Дифференцируемость функции

Определение.Говорят, что функциядифференцируема в точке x₀, если ее приращениеможно представить в виде

(1)

где A– некоторое число, не зависящее от.

Теорема 1.Для того, чтобы функция, была дифференцируемой в точкеx₀, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Доказательство.Необходимость. Пустьдифференцируема. Разделим обе части равенства (1) на:

.

Переходя к пределу при , получим

,

т.е. в точке x₀ существует производная и она равнаA:.

Достаточность. Пусть существует конечная производная.

Тогда и, следовательно,

.

В этом соотношении нетрудно увидеть равенство (1). Теорема доказана.

Таким образом, для функции одной переменной дифференцируемость и существование конечной производной – понятия равносильные.

Формулу

называют формулой бесконечно малых приращений.

Между понятиями дифференцируемости и непрерывности существует связь, устанавливаемая следующей теоремой.

Теорема 2.Если функциядифференцируема в точкеx₀, то она и непрерывна в этой точке.

Действительно из формулы (1) следует, что , а это и есть одно из определений непрерывности.

Естественно возникает вопрос о том, справедливо ли утверждение, обратное теореме 2, т.е. “непрерывная функция дифференцируема”. На этот вопрос следует дать отрицательный ответ: существуют функции, непрерывные в некоторой точке, но не дифференцируемые в данной точке. Примером может служить функция из примера 2 §3:. Она непрерывна в нуле, ноне существует.

Приведем еще один пример такой функции.

Пример 1.

Данная функция – неэлементарная, возможная точка разрыва (в этой точке одно элементарное выражение меняется на другое). Но

,

следовательно, непрерывна в точке. Найдем производную функции в нуле (по определению!):

.

Но нам уже известно, что, когда аргумент синуса стремится в , синус предела не имеет. Итак,не существует, т.е.недифференцируема в нуле.

Отметим, что математиками построены примеры функций, непрерывных на некотором промежутке, но не имеющих производной ни в одной точке этого промежутка.

Лекция 9