§ 10. Замечательные пределы

I Первый замечательный предел

Теорема 1..

Доказательство.Сначала докажем основное неравенство, справедливое. Для этого рассмотрим единичную окружность с центром в начале координат и пустьточка окружности, лежащая в первой четверти. Черезпроведем луч, а через точкукасательную к окружности. Если радианная мераравна, тои. Рассмотрим три фигуры:, сектори. Очевидно,, что означает следующее:. Отсюда и получаем основное неравенство.

Далее докажем три леммы.

Лемма 1..

Для это часть основного неравенства. Если, тои поэтомуили. Но в интервалеи, следовательно,,и снова. Если, то. Пусть, наконец,. Тогда, а. И снова.

Лемма 2..

Это следствие одного из свойств б.м. функций: если прии, то ипри, т.е..

Лемма 3. .

Преобразуем: .

И снова, т.к. при, то ипри. Это же означает:.

Теперь можем доказать теорему. Пусть . Разделим все части основного неравенства на:.

Переходя к обратным величинам, получим:

. (1)

Применяя к полученному неравенству теорему 9 из предыдущего параграфа и учитывая, что , получим

.

Пусть теперь , тогдаи неравенство (1) принимает вид

.

Принимая во внимание четность и нечетность, и дляполучаем неравенство (1), а значит и

.

Равенство односторонних пределов и доказывает теорему.

Если объединить доказанную теорему с теоремой 10 из § 9, то можно получить более сильный результат.

Теорема 2.Пустьпроизвольная б.м. функция при. Тогда

.

Примеры.

1.

.

2. .

Сделаем замену . Тогдаипри. Поэтому

.

3. .

II Второй замечательный предел

В § 8 было доказано, что предел последовательности равен числу. Оказывается, этот результат справедлив и для функциипри(доказательство опустим). Переходя от бесконечно больших к бесконечно малым получим т.н. второй замечательный предел.

Теорема 3..

Более того, для любой приимеет место равенство

.

Примеры.

4.

.

Здесь знак предела был внесен под знак в связи с тем, что функциянепрерывная (смотри об этом в последующих параграфах).

5. .

Лекция 6

§ 11. Эквивалентные б.М. И б.Б. Функции

I Сравнение б.М. И б.Б. Функций

Пусть ипара б.м. или б.б. функций при.

Определение 1.Если, то говорят, что при:

1) б.м. имеет более высокий порядок малости, чем б.м.;

2) б.б. имеет более низкий порядок роста, чем б.б..

В обоих случаях пишут: “при”.

Примеры.

1. при, ибо.

2. при, ибо.

Отсюда получим, например,

,.

3. Известная цепочка соотношений (,) озна- чает, что при

,.

Замечание 1.Грубо говоря, соотношениеозначает, что б.м.стремится к0быстрее, чем б.м., а б.б.стремится кмедленнее, чем б.б..

Определение 2.Если, то говорят, что бесконечно малыеиимеют одинаковый порядок малости, а бесконечно большиеиодинаковый порядок роста при.

Определение 3.Еслине существует, то б.м. или б.б.иназывают несравнимыми.

Примером несравнимых б.м. (при ) служат функции

и .

II Эквивалентные функции: два определения

Определение 4.Если, то пару б.м. или б.б. функцийиназывают эквивалентными прии пишут :при.

Примерами эквивалентных б.м. при служат,,.

Приведем несколько свойств символа ~:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Замечание 2.Для упрощения применения эквивалентностей удобно парулюбыхфункций называть эквивалентными, если предел их отношения равен 1 (иногда уточняют: «эквивалентные в широком смысле»).

Для б.м. функций можно дать еще одно определение эквивалентности (равносильное определению 4).

Определение 5.Бесконечно малые функции эквивалентны, если их разность есть б.м. более высокого порядка малости, чем каждая из них:

и.