VII Обратная функция
Функцию y=f(x)называютобратимойна промежутке|a,b|, если любое свое значение она принимает не более чем в одной точке этого промежутка; иными словами, если различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции.
Пусть обратимая функция y=f(x)задана на промежутке|a,b|и пустьE(y)=|A,B|.
Каждомуy|A,B|поставим в соответствие то единственное
значениеx[a,b],
для которогоf(x)=y.
Тем самым на|A,B|будет определена функция
,
которую называютобратнойпо
отношению к функцииy=f(x).
Отметим, что если
обратная дляy=f(x),
то и функцияy=f(x)является обратной для
.
Поэтому, эти две функции часто называютвзаимнообратными. Такие функции
обладают очевидными свойствами:
.
Графики взаимно обратных функций
совпадают. Можно, однако, потребовать,
чтобы и аргумент обратной функции
обозначался буквой x,
т.е. вместо
рассматривать функцию
.
Графики такой пары функцийy=f
(x)и
симметричны относительно прямойy=x.
Можно доказать, что всякая строго монотонная функция имеет обратную, причем с тем же направлением монотонности.
Алгоритм нахождения обратной функции для функции y=f(x)следующий:
1) убедиться, что y=f(x)обратима (например, монотонная);
2) решить уравнение y=f(x)относительноx;
3) в полученном равенстве поменять местами xиy.
Пример. Найдем обратную
функцию для функции
(т.н. синус гиперболический).
а) Проверим монотонность. Пусть x1>x2.
Тогда
.
Функция y=ex– возрастающая, поэтому разность в
первой скобке положительна, аy=ex– убывающая, поэтому вторая разность
– отрицательна. Значит
,
т.е
,
т.е.y=
shx– возрастающая функция, следовательно,
обратимая.
б) Решим уравнение y=shx относительноx:
– не подходит, ибо
Итак,
,
т.е.
.
в) Поменяв местами xиy, получим искомую обратную функцию:
.
§2. Элементарные функции
I Основные элементарные функции
К
основным элементарным функциям относят
константы, степенные, показательные,
логарифмические, тригонометрические
и обратные тригонометрические.
1) Константыy = Const.
D(y) = R, E(y)={c}.
не существует, четная.
График – прямая, параллельная оси абсцисс.
2
)Степенные
.
D(y) иE(y) зависят от, но (0, +) D(y).
Четность-нечетность зависит от .
Обратная для
есть
.
Для <0 оси координат – асимптоты.
Показательные
(0<a1).
D(y) = R, E(y) = (0, +).
Функция общего вида.
Ось абсцисс – асимптота.
Обратная для функции
есть логарифмическая функция
.
Л
огарифмическая
(0<a1).
D(y) = (0, +), E(y) = R.
Функция общего вида.
Ось ординат – асимптота.
Обратная для логарифмической – показательная функция.
В математическом анализе в основном используют натуральные логарифмы lnx, т.е. логарифмы с основанием a=e=2,7…
5
) Тригонометрические
а)
.
D(y) = R, E(y) = [1, 1].
Нечетная.
Периодическая,
.
б)
.
D(y) = R, E(y) = [1, 1].
Четная.
Периодическая,
.
в
)
.
D(y)
= R
\ {
,
kz},
E(y) = R.
Нечетная.
Периодическая,
.
Прямые
асимптоты.
г)
.
D(y) = R \{k, kz}, E(y) = R
Нечетная.
Периодическая,
.
Прямые x = kасимптоты.
6) Обратные тригонометрические
При определении этих функций выбираются
следующие участки монотонности: для
синуса 
,
для косинуса[0,
],
для тангенса
,
для котангенса(0,
).
Определение, например, арксинуса:
a
rcsina
– это угол
такой, что
sin=a.
Остальные
функции
определяются аналогично.
а)
.
D(y)
= [1,
1], E(y)
= 
.
Нечетная.
б
)
.
D(y) = [1, 1], E(y) = [0, ].
arccos(x) = arccosx.
arcsinx
+ arccosx
=
.
в)
.
D(y)
= R,
E(y)
= 
.
Нечетная.
Прямые
асимптоты.
г
)
.
D(y) = R, E(y) = (0, ).
arcctg(x) = arcctgx.
Прямые y = 0иy = асимптоты.
Замечание. Иногда к основным элементарным функциям относят еще и т.н. гиперболические функции и обратные к ним. Все эти функции достаточно просто выражаются через показательную и логарифмическую функции.
а) синус гиперболический
:D(y)
= R,
E(y)
= R,
нечетная; обратная функция имеет видy
= Arshx
=
.
б) косинус гиперболический
:D(y)
= R,E(y)
= [1, +),
четная; обратная функция имеет видy
= Archx
=
,
(у функцииchxберется ветвь
).
в) тангенс и котангенс гиперболические определяются так же как и в тригонометрии:
,
.
Обратная функция для y
= thx– этоy
= Arthx
=
.
Графики гиперболических функций:
