2.4. Уравнение движения электропривода при переменном моменте инерции, зависящем от угла поворота вала

Внекоторых устройствах, преобразующих вращатель­ное движение в возвратно-поступательное при помощи кривошипно-шатунного механизма, скорость и ускорение поступательно движу­щихся масс изменяются по значению и знаку за один оборот криво­шипа. Соответственно запас кинетической энергии этих масс изменя­ется от нуля до максимального значения. Момент инерции, приведен­ный к валу кривошипа,

где mv² — масса поступательно движущегося элемента системы, имею­щая скорость v, ω_к — угловая скорость вала кривошипа.

Используя геометрические соотношение в кривошипном механизме (рис. 2.9), можно после некоторых преобразований получить выра-

жeние

(2.42)

Подставив в формулу момента инерции значение v из (2.24), най­дем:

(2.25)

Так как угол β можно выразить в функции угла α как

(2.26)

то приведенный момент инерции от поступательно движущейся массы будет зависеть только от величины α, т. е. положения кривошипа. Для определения суммарного момента инерции нужно к моменту инер­ции, полученному по (2.25), прибавить момент инерции всех других элементов электропривода, приведенный к валу кривошипа. Если

т

Рис. 2.9. Схема кривошипно-шатунного механизма.

между валом кривошипа и двигателем имеются промежуточные пере­дачи, то приведение момента инерции от вала кривошипа к валу дви­гателя производится по (2.8).

Пользуясь (2.5) и подставляя выражение для скорости из (2.24), находим статический момент, приведенный к угловой скорости вала двигателя:

М_с = f_с r sin (α + β)/ηi cos β, (2.27)

где F_c — сила сопротивления поступательно-движущегося элемента; i — передаточное число от вала двигателя к валу кривошипа.

При переменном моменте инерции, как это имеет место в криво­шипных механизмах, уравнение движения электропривода получает более сложный вид, так как J_к = f (α).

Кинетическая энергия, запасенная на валу кривошипа и выра­женная в величинах, приведенных к валу двигателя, равна:

А = Jω²/2,

где J — приведенный к валу двигателя суммарный момент инерции, зависящий от угла φ поворота вала двигателя; ω — угловая скорость двигателя.

Динамическая мощность при этом равна:

(2.28)

Так как то (2.29)

Если учесть, что динамический момент М_дин = Р_дин/ω. то урав­нение движения для рассматриваемого случая примет вид:

(2.30)

Сравнивая уравнения (2.23) с (2.30), видим, что последнее носит более общий характер (имеет дополнительное слагаемое в правой части).

2.5. Время ускорения и замедления привода. Определение наивыгоднейшего передаточного отношения

Время переходных режимов привода: пуска, торможения, перехода от одной скорости к другой влияет на производительность механизма. Определение времени переходных процессов основано на интегрировании уравне­ния движения привода (2.23). Разделяя переменные, полу­чаем:

(2.31)

Время, необходимое для изменения скорости привода

ОТ ω₁ ДО ω ₂,

(2.32)

Для решения этого интеграла необходимо знать зави­симости моментов двигателя и механизма от скорости. В простейшем случае, приняв М = const, M_c = const и J = const, получим:

(2.33)

Этим уравнением можно воспользоваться, например, для расчета времени пуска привода. Если значение момента двигателя во время пуска обозначить через М_П, как это показано на рис. 2.10, то получим следующее выражение для времени пуска от состояния покоя до конечной ско­рости ω_ном, соответствующей заданному моменту сопро­тивления:

(2.34)

Если требуется точно учесть время переходного про­цесса и момент двигателя не может быть принят постоян­ным, например при пуске двигателя с короткозамкнутым

ротором, необходимо пользоваться (2.32). При этом следует иметь в виду, что момент инерции для большинства приводов имеет постоянное значение, а момент двигателя и момент сопротивления в переходных режимах обычно не остаются постоянными.

Из (2.32) видно, что теоретически полное время пере­ходного процесса равно бесконечности. Действительно, поскольку переходный процесс заканчивается при наступле­нии равенства моментов (М = М_с), то величина, стоящая под знаком интеграла, стремится к бесконечности. В прак­тических расчетах обычно считают, что процесс разбега

Рис. 2.10. Пусковой график при­вода.

Рис. 2.11. График торможения привода.

заканчивается при скорости, равной не ω₂ а приблизи- тельно ω = 0,95ω₂, тогда время разбега получит конечное значение.

Втех случаях, когда динамический момент имеет отри­цательное значение, привод замедляется. Как указывалось выше, для такого случая уравнение моментов будет иметь вид:

Очевидно, привод замедляется и в том случае, когда двигатель развивает положительный момент по абсолют­ному значению, меньший момента сопротивления.

Из последнего уравнения следует, что время торможения

(2.35)

Полагая в частном случаеJ = const, М = const и М_с = const, получаем:

(2.36)

Пользуясь уравнением (2.36), можно рассчитать время торможения (ω₂ = 0) для графика момента, показанного на рис. 2.11.

Если момент двигателя и момент статический находятся в сложной зависимости от скорости, уравнение движения аналитически не решается. В этом случае приходится пользоваться приближенными графическими или графо-аналитическими методами решения.

Вряде практических случаев (например, в следящихсистемах, приводах вспомогательных механизмов прокат-ных станов, продольно-строгальных станках и т. п.) воз­никает необходимость в получении минимального времени разгона и торможения производственного механизма с целью повышения его производительности. При заданных зна­чениях моментов инерции ротора двигателя J_Д, произ­водственного механизма J_c и момента сопротивления М_с уравнение движения привода относительно рабочего вала механизма (пренебрегая потерями в передачах) может быть записано так:

(2.37)

где k — коэффициент, учитывающий момент инерции пере­дач.

Очевидно, минимум времени разгона имеет место при наибольшем ускорении. Из (2.37)

Пользуясь правилом определения максимума dω_C/dt и полагая М_с = const, а также М = const (средним за период переходного режима), находим оптимальное (или наивыгоднейшее) передаточное отношение i:

(2.38)

В том случае, когда момент сопротивления оказывается значительно меньшим момента двигателя при пуске и торможении,

(2.39)