9.2. Потери энергии в электроприводах постоянного и переменного тока

Потери в двигателе складываются из перемен­ных, зависящих от нагрузки, и постоянных потерь, не за­висящих от нагрузки.

Для электропривода постоянного тока суммарные по­тери мощности равны:

ΔР_Σ=ΔР_к+ ΔР_υ = ΔР_в+ ΔР_ст+ ΔР_мех+I²R , (9.5)

где ΔР_к — постоянные потери, ΔР_к = ΔР_в+ ΔР_ст+ +ΔР_мех ; ΔР_в , ΔР_ст , ΔР_мех — соответственно потери на возбуждение, потери в стали и механические; I²R = ΔР_υ — потери в силовой (якорной) цепи двигателя.

Аналогично для асинхронного двигателя

ΔР_Σ= ΔР_ст+ ΔР_мех+3(I₁²R₁+ I₂^’2R₂). (9.6)

Переменные потери ΔР_υ могут быть выражены также через электромагнитный момент и относительную скорость (или скольжение), а именно:

1) для двигателя постоянного тока независимого воз­- буждения

(9.7)

где Р₁₂ — электромагнитная мощность; Δω, ω₀ — соответ­ственно перепад угловой скорости, обусловленный момен­том М, и угловая скорость идеального холостого хода;

2) для асинхронного двигателя

(9.8)

Выше при рассмотрении различных способов регулиро­вания угловой скорости электроприводов постоянного и переменного тока приводились необходимые соотношения для определения потерь в двигателях при установившемся режиме.

Более подробно остановимся на определении потерь и расходе энергии в переходных процессах. Здесь целесо­образно находить не среднее значение потерь мощности, а расход и потери энергии за время переходного процесса.

Потери энергии в двигателе за время переходного про­цесса t_п.п в общем случае равны:

(9.9)

Так как по сравнению с переменными постоянные по­тери в переходном процессе малы, то в дальнейшем они учи­тываться не будут.

Для двигателя постоянного тока независимого возбуж­дения потери при пуске равны:

(9.10)

Если пуск совершается вхолостую (при Мс = 0), то из

уравнения движения следует: тогда

или (9.11)

Следовательно, потери энергии при пуске двигателя вхолостую определяются запасом кинетической энергии, накопленной массами привода к концу пуска.

Полезная работа (затраченная на пуск привода), произ­веденная двигателем за время пуска вхолостую, также равна запасу кинетической энергии, накопленной массами за этот период:

(9.12)

Расход электрической энергии из сети равен:

(9.13)

На рис. 9.6 приведены идеализированные графики угло­вой скорости и развиваемой (полезной) и потребляемой из сети мощности двигателя постоянного тока независимого возбуждения. Суммарная потребляемая за время пуска из сети энергия отображается прямоугольником Обве; по­стоянные потери соответствуют площади абвг. Полезная мощность двигателя растет по прямой Ог, принимая мак­симальное значение к концу пуска, затем падает до 0, так как М_с = 0; при этом не учитываются постоянные потери,

отмеченные отрезкомде-вг. Энергия, потребляемая якорной цепью двигателя, пропорциональна площади Оаге, площадь треугольника Оаг — потерям в якорной цепи двигателя, а Оге — полезной работе. График изменения угловой ско­рости ω (t) при постоянном моменте показан отрезком Ож. При пуске двигателя под нагрузкой в предположении, что М_c = const, потери энергии

Так какdt=J dω/М_дин , то после преобразований

Или

(9.14)

Первый член выражения (9.14) представляет собой по­тери энергии в якорной цепи, обусловленные разгоном инер-

Рис. 9.6. Идеализированные Рис. 9.7. К графическому оп-

графики угловой скорости и раз- ределению потерь при пуске

виваемой и потребляемой из се- двигателя постоянного тока не-

ти мощностей двигателя постоян- зависимого возбуждения под

ного тока независимого возбуж- нагрузкой. дения при пуске вхолостую.

ционных масс привода (ΔА_п.дин), а второй — потери, вы­званные наличием момента нагрузки (ΔА_п.с).

Формулу (9.14) можно записать так:

(9.15)

ΔА_п = ΔА_п.дин+ ΔА_п.с

Если ω_с мало отличается от ω₀, то

Подсчет ΔА_пс можно произвести, воспользовавшись следующим графиком (рис. 9.7), на котором дается зависи­мость ω = f (t).

На рис. 9.7 заштрихованная площадь равна:

Следовательно,

ΔA_п.c=M_cF_п (9.16)

Тогда потери в якорной цепи двигателя

(9.17)

Потери энергии при торможении противовключениемвхолостую определяются по формуле

Или

ΔА_т.п0 = 3Jω₀²/2 (9.18)

энергии, т. е. в 3 раза превышают по­тери энергии при пуске вхолостую. Графическая интерпретация измене­ния механической и электрической мощности при торможении противо­включением с М_С = 0 показана на рис. 9.8. Механическая мощность, посту­пающая с вала, преобразуется в элект-

Рис. 9.8. Графическая интерпретация изме­нения механической и электрической мощно­стей при торможении противовключением вхолостую двигателя постоянного тока не­зависимого возбуждения.

Таким образом, потери при торможении противовклю-чением вхолостую равны тройному запасу кинетической

рическую и выделяется в якорной цепи двигателя, что опре­деляет одну составляющую потерь, прямо пропорциональ-

ную площади треугольника Оаб. Так как напряжение сети постоянно во время торможения, то вторая составляющая потерь обусловлена потреблением электрической энергии из сети и пропорциональна площади, ограниченной прямо­угольником Обвг. Как видно, сумма этих составляющих и определяет тройной запас кинетической энергии.

При торможении противовключением под нагрузкойМ_с = const) потери энергии можно определить по формуле

(9.19)

или

(9.20)

Аналогично предыдущему можно обозначить:

Окончательно

(9.21)

Из (9.21) следует, что потери энергии при торможении двигателя под нагрузкой меньше, чем вхолостую.

При динамическом торможении якорь двигателя отклю чен от сети и замкнут на резистор, поэтому кинетическая энергия, запасенная в массах электропривода, в процессе торможения превращается в электрическую и выделяется в виде теплоты в якорной цепи.

Потери энергии в якорной цепи двигателя при динами­ческом торможении вхолостую

Или

(9.22)

Если динамическое торможение производится под на­грузкой (М_с = const), то потери энергии в якорной цепи

(9.23)

Второй член (9.23) легко подсчитать, как и ранее, если известна зависимость ω = f(t).

Потери энергии в якорной цепи двигателя при реверси­ровании без нагрузки

(9.24)

Формула (9.24) подтверждает, что потери энергии при реверсировании складываются из суммы потерь энергии при торможении противовключением и пуске.

Для определения потерь энергии при реверсировании под нагрузкой можно воспользоваться формулой

ΔА_р= ΔА_{п +} ΔА_т.п (9.25)

Следует подчеркнуть, что при управлении двигателем независимого возбуждения от источника с постоянным напряжением и М_с = 0 на потери в переходном режиме не влияет значение тока в якорной цепи, с которым пу­скается или тормозится двигатель, а следовательно, и элект­ромагнитный момент. Эти потери остаются неизменными при любом числе ступеней пускового или тормозного рези­стора, так же как и при безрезисторном управлении. От­сюда следует, что и длительность переходного процесса не оказывает влияния на потери энергии в переходных режи­мах, если М_с = 0, а постоянные потери не учитываются.

Иначе, чем в случае двигателя постоянного тока неза­висимого возбуждения, определяются потери при переход­ных процессах в двигателе постоянного тока последова­тельного возбуждения, у которого магнитный поток за­висит от тока якоря, т. е. имеет место нелинейная зави­симость между током якоря и моментом. Здесь для опре­деления потерь необходимо построить график зависимости квадрата тока якоря в переходном процессе от времени и, проводя численное интегрирование этой кривой, вычислить потери энергии. Так же определяются при переходных режимах потери энергии в двигателе постоянного тока сме-шйнного возбуждения и для других типов двигателей в случае существенного изменения магнитного потока или статического момента в течение переходного процесса. Сле­дует отметить, что при пуске и торможении противовключе-

нием двигателя постоянного тока последовательного воз­буждения при неизменном напряжении потери энергии в нем могут быть меньше, больше или равны соответствую­щим потерям в двигателе постоянного тока независимого возбуждения. Если среднее значение тока в переходном режиме у двигателя последовательного возбуждения больше номинального, то вследствие увеличенного магнитного по­тока момент, развиваемый двигателем, окажется больше, а время переходного процесса и потери энергии меньше, чем у двигателя независимого возбуждения, при прочих равных условиях (в частности, при одинаковых токах).

Рис. 9.9. Схема пуска двухдвигателыюго привода постоянного тока с двигателем независимого возбуждения изменением напряжения в две ступени,

а — схема для первой ступени; б — для второй ступени.

Если же ток в среднем меньше номинального, то момент двигателя последовательного возбуждения меньше, чем у двигателя независимого возбуждения, а время и потери энергии будут больше. Только при номинальном токе для обоих типов двигателей время и потери энергии будут оди­наковыми в переходных режимах.

Если при управлении переходными процессами напря­жение, подводимое к двигателю, изменяется от меньшего значения в начале процесса до большего в конце его, то потери в якорной цепи становятся меньшими, чем при не­изменном напряжении.

Рассмотрим простейший случай пуска изменением на­пряжения в две ступени двухдвигательного привода по­стоянного тока с двигателями независимого возбуждения, каждый из которых рассчитан на номинальное напряжение. Вначале (рис. 9.9, а) якорные цепи обоих двигателей вклю-

чены последовательно, и напряжение, приходящееся на выводы якоря каждого из двигателей, равно половине не-минального — оба двигателя разгоняются до половинной

Рис. 9.10. Графики процесса разгона двухдвигательного привода по­стоянного тока с двигателями независимого возбуждения в две ступени.

а — графики напряжения и угловой скорости; б — графики электрической и механической мощностей.

угловой скорости. Очевидно (если считать для упрощенияМ_с = 0) потери энергии при пуске до угловой скорости, равной ω₀/2, составят:

а при последующем разгоне от угловой скорости ω₀/2 до ω₀,

осуществляемом переклю­чением с последовательно­го соединения двух дви­гателей на параллельное (рис. 9.9, б), потери энер­гии равны:

Таким образом, суммар-

ные потери (пуск в две сту- _Рис. ₉.11. Зависимости ш„.(0 и пени т. е. со (t) при пуске вхолостую двига-

в 2 раза меньше, чем при теля постоянного тока независимо- пуске в одну ступень (сра- го возбуждения путем линейного

зу ω₀). Графики, приве- го изменения во времени.

денные на рис. 9.10, а и б,

иллюстрируют в упрощенном виде процесс пуска двух-двигательного привода в две ступени; площади заштри-

кованных треугольников пропорциональны потерям энер­гии.

В случае линейного во времени изменения напряжения, подводимого к якорю двигателя постоянного тока независи­мого возбуждения (линейно изменяется и задаваемая угло­вая скорость идеального холостого хода), зависимости ω₀ (t) и ω (t) при пуске вхолостую можно представить, как это показано на рис. 9.11. Здесь на первом этапе пуска

приt > t_п0

на втором этапе приt > t_п0

(9.26)

гдеε_п — угловое ускорение ; T_м — электромеханическая по­стоянная времени привода ; ω_п и М_п — соответственно угло­вая скорость и момент при t = t_п0; t' = t — t_п0.

Потери энергии

Полагая t_п0 > Т_м и допуская для упрощения линейную зависимость для ω (t), получаем:

Кроме того,

Тогда

Или окончательно

(9.27)

Из (9.27) следует, что когда Т_м < t_п0, потери энергии при пуске с линейным изменением напряжения значительно меньше (в 5—6 раз), чем в случае пуска с постоянным на­пряжением.

Если пуск двигателя постоянного тока независимого возбуждения производится в системе Г — Д путем включе-

ния обмоток возбуждения генератора на полное напряже­ние и ЭДС генератора изменяется по экспоненциальному закону, то потери в якорной цепи

(9.28)

Для пуска вхолостую с учетом, что

(9.29)

после преобразования получим:

(9.30)

где ΔA_п0 = Jω₀²/2; т = Т_в / Т_м — отношение постоянной времени обмотки возбуждения к электромеханической по­стоянной времени привода.

Из (9.29) и (9.30) следует, что чем больше Т_в по сравне­нию с Т_м, тем медленнее нарастает ЭДС генератора, за­медляется пуск двигателя и уменьшаются потери энергии. Форсирование процесса возбуждения приводит к возраста­нию потерь энергии.

Можно показать, что при пуске под нагрузкой потери в якорной цепи системы Г — Д равны:

(9.31)

где Р_с, Асо_с — соответственно мощность, потребляемая дви­гателем, и перепад угловой скорости, обусловленный мо­ментом нагрузки УИ_С при установившейся ЭДС генератора. В процессе рекуперативного торможения вхолостую пу­тем снятия напряжения с обмотки возбуждения генератора потери в якорной цепи составят:

(9.32)

То же при М_с = const :

(9.33)

Потери при торможении под нагрузкой при том же вре­мени оказываются меньшими, чем вхолостую, из-за мень­шего тока в якоре.

Пусковые потери в асинхронном двигателе, если пре­небречь постоянной составляющей потерь ΔР_к и влиянием

тока холостого хода (т. е. считатьI₁ ≈ I₂^’), можно опреде­лить по формуле

(9.34)

При М_с = 0

dt = - ( Jω / M ) ds.

Выражая потери мощности в роторной цепи через мощ­ность скольжения, т. е. 3I₂^’ (R'₂ + R^’_2доб) = Мω₀s, в ре­зультате несложных преобразований получаем:

(9.35)

или, учитывая, что s_нач = 1 и s_кон = 0,

(9.36)

где ω₀ —синхронная угловая скорость двигателя; R₁, R₂, R^’_2доб — соответственно сопротивление фазы статора, при­веденные к цепи статора сопротивление фазы ротора и со­противление добавочного резистора в цепи ротора; для дви­гателя с короткозамкнутым ротором R^’_2доб = 0.

Из (9.36) следует, что потери при пуске состоят:

1. из потерь в роторной цепи: ΔА_п02 = Jω₀²/2, опре­ - деляемых запасом кинетической энергии, которую приобре­ тает привод к концу пуска;

2. из потерь в статорной цепи:

зависящих от активных сопротивлений статора и роторной цепи; чем больше сопротивление роторной цепи, тем меньше потери в статоре асинхронного двигателя. Уменьшение по­терь в статоре с ростом вторичного сопротивления объяс­няется уменьшением пускового тока.

Для двигателя с короткозамкнутым ротором R^’_2доб = 0, и составляющая потерь в статоре равна:

В двигателях общего назначения (единой серии) с ко­роткозамкнутым ротором R₁ ≈ R'₂, т. е. в этом случае со­ставляющая потерь энергии в статоре численно равна запасу кинетической энергии, т. е. потерям в роторе.

За счет применения двигателей со специальной конструк­цией короткозамкнутого ротора, имеющего повышенное со­противление, может быть достигнуто уменьшение потерь в статоре. Это двигатели со сплошным стальным ротором и двигатели с повышенным номинальным скольжением. Дви­гатели, имеющие ротор с глубокими пазами или ротор с двойной беличьей клеткой (двигатели типа Бушеро), также обладают повышенным сопротивлением ротора, из­меняющимся в функции скольжения, что приводит к умень­шению переменных потерь в статоре. Потери в роторной цепи при пуске вхолостую для всех типов двигателей опре­деляются запасом кинетической энергии.

Потери энергии при пуске асинхронного двигателя поднагрузкой (М_с = const) могут быть определены по формуле

(9.37)

где М_п.ср = (λ + k_n) M_ном / 2 — средний пусковой момент асинхронного двигателя; λ = М_к / М_ном ; k_п = М_к / М_ном ; М_п — пусковой момент (момент короткого замыкания дви­гателя).

Потери энергии в асинхронном двигателе при торможе­нии противовключением могут быть найдены по (9.35) при подстановке в нее пределов интегрирования s_нач = 2 и

s_кон = 1, тогда

(9.38)

Если торможение противовключением производится под нагрузкой (М_с — const), то потери равны:

(9.39)

где М_т,ср — средний момент, развиваемый асинхронным двигателем при торможении противовключением.

Потери энергии в роторной цепи двигателя в период динамического торможения вхолостую определяются запа­сом кинетической энергии, который приобретет привод к началу торможения, т. е.

Потери в статоре в этом случае

(9.40)

здесь I_экв — эквивалентный ток статора; t_т — время ди­намического торможения.

Наконец, если динамическое торможение происходитпод нагрузкой (М_с = const), то потери в роторной цепи

(9.41)

Потери в статоре для этого случая определяются по (9.40) с учетом того, что время торможения будет меньше при том же значении I_экв.

Удвух- или многоскоростных двигателей потери энер­гии значительно выше, чем у односкоростного двигателя такой же мощности, имеющего номинальную угловую ско­рость, равную максимальной угловой скорости многоско­ростного двигателя, обладающего значительно большими габаритами и моментом инерции. Поэтому прямой пуск многоскоростного двигателя на максимальную угловую скорость нежелателен. Целесообразно для уменьшения пу­сковых потерь энергии использовать ступенчатый пуск. В случае двухскоростного двигателя пуск осуществляется . в две ступени. При включении обмотки статора при пуске на первую ступень таким образом, что синхронная угловая скорость будет равна половине верхней (ω₀/2), потери энергии составят (M_c = 0):

(9.42)

Пуск на вторую ступень от угловой скоростиω₀/2 до ω₀ вызовет потери

(9.43)

Суммарные пусковые потери составят:

(9.44)

Следовательно, при двухступенчатом пуске потери энер­гии окажутся вдвое меньше, чем при пуске в одну ступень, если отношение R₁/R'₂ сохранится неизменным с переклю­чением числа полюсов. Ступенчатый пуск двухскоростного двигателя аналогичен пуску двигателя постоянного тока независимого возбуждения изменением подводимого к якорю напряжения в две ступени.

При многоступенчатом пуске трех- или четырехскорост-ного двигателя потери энергии еще в большей мере сни-

жаются. Например, если осуществить ступенчатый пуск четырехскоростного двигателя, имеющего синхронные ча­стоты вращения 500/1000/1500/3000 об/мин, то потери энер­гии на первой, второй, третьей ступенях пуска составят по ¹/₃₆ и на четвертой ¹/₄, а общие пусковые потери энергии V₃ потерь при прямом пуске в одну ступень до 3000 об/мин.

Для двигателя с частотами вращения 500/750/1000/ 1500 об/мин при четырехступенчатом пуске общие потери энергии составят ⁵/₁₈ пусковых потерь в одну ступень до 1500 об/мин.

Торможение двух- или многоскоростных асинхронных двигателей с целью снижения потерь также может быть ступенчатым.

Если двухскоростной двигатель имеет две синхронныеугловые скорости ω₀₂ и ω₀₁, то торможение от ω₀₂ до ω₀₁ можно осуществить с рекуперацией энергии в сеть, а с ω₁ до 0 — противовключением или динамическим торможе­нием. На первой ступени потери энергии при рекуператив­ном торможении вхолостую можно определить по формуле

(9.45)

где т = ω₀₂/ω₀₁; k' = (R₂^’ + R₁)/R₂^’

Потери энергии на второй ступени (торможение противо-включением)

(9.46)

Суммарные потери при ступенчатом торможении (в пред­положении, что k' = k" = k)

(9.47)

здесь С₀ =

Если осуществить торможение противовключением с мак­симальной угловой скорости до остановки, то

(9.48)

Отношение потерь по (9.47) к потерям по (9.48)

(9.49)

Например, если осуществляется ступенчатое торможе­ние двухскоростного двигателя с m = 2, то потери энергии составят f ²/₃ потерь при торможении противовключением в одну ступень. С увеличением т уменьшаются потери энергии в полюсопереключаемом двигателе при ступенча­том торможении по сравнению с потерями при торможении противовключением в одну ступень. Еще меньшими оказы­ваются потери энергии в частотно-управляемом асинхрон­ном электроприводе, которые могут быть ориентировочно определены аналитически, если пренебречь электромагнит­ными процессами. Примем, что электромеханический про­цесс протекает с абсолютным скольжением, меньшим кри­тического, т. е. β < β_К.

При указанном ограничении потери можно найти из следующей системы уравнений:

(9.50)

Уравнение движения в свою очередь можно выразитьтак:

(9.51)

Из (9.51) видно, что динамический момент представляетсядвумя составляющими:

(9.52)

(9.53)

где ε = dω₁/ dt.

Момент двигателя при управлении с β < β_к можно представить линейным уравнением

M = k_β β, (9.54)

где k_β = M_ном / s_ном .

Учитывая из (9.50) третье уравнение и (9.54), получаем выражение механической характеристики двигателя при частотном управлении

М = k_β а - k_β ω / ω_1ном(9.55)

иуравнение движения

(9.56)

или

(9.57)

Для линейного изменения частоты во времени, ε = =const, параметр абсолютного скольжения можно определить по формуле

(9.58)

гдеТ_м = Jω_1номs_ном / М_ном ; β_c =M _c / k_β. Потери энергии при пуске

Зная зависимость β = f (t), можно определить ΔA_п ; при М_с = 0, принимая для упрощения, что t_п > Т_м, полу­чаем: β = Jε/k_β;

(9.60)

Таким образом, (9.60) совершенно аналогично (9.27), что и следовало ожидать. Из (9.60) следует, что для Т_м < < t_п0 потери при частотном пуске с β < β_к значительно меньше, чем в случае прямого включения-асинхронного дви­гателя с а = 1.

Так же могут быть найдены потери при частотном тор­можении .

Необходимо отметить, что минимальные потери при ча­стотном управлении могут быть достигнуты в результате установления оптимального значения абсолютного сколь­жения β_опт. Его можно выбирать, исходя из режима мини­мума потерь или режима минимума тока.

Значение β_опт в режиме минимума тока выбирается так, чтобы заданному току статора соответствовал максимум электромагнитного момента, что обеспечивает необходимое быстродействие, а следовательно, при выбранном токе и минимум электрических потерь. Пользуясь механическими характеристиками М = f(β) построенными для фиксиро­ванных значений токов статора, можно установить общую закономерность независимо от типа и параметров асинх-

ронного двигателя, заключающуюся в том, что с ростом тока статора увеличивается критическое скольжение β_к. Линия оптимального скольжения проходит через точки максимума моментов, каждый из которых отвечает своему постоянному значению тока статора. Таким образом, срав­нительно просто находится β_опт.

Определение β_опт в режиме минимума потерь связано со значительно более сложными расчетами и практически не всегда оправдано, так как потери энергии при частотном пуске и торможении, полученные в режиме минимума по­терь, всего на несколько процентов отличаются от рассчи­танных из условия минимума тока.

Приведенные выше соотношения для определения потерь энергии в переходных режимах при различных способах управления асинхронными двигателями не учитывают влия­ния электромагнитных процессов и насыщения магнитной цепи. Их влияние можно оценить в результате решения дифференциальных уравнений асинхронного двигателя при питании его как непосредственно от сети, так и от соответ­ствующего преобразователя частоты. Эти уравнения, до­полненные уравнениями для мощности потерь и потерь энергии, сложные и нелинейные и аналитически не ре­шаются. Их решение возможно с использованием средств вычислительной техники.