Лин. алгебра и аналит. геометрия / Метод. указания / Решение типовых задач

Задача 9. Найти канонические уравнения проекции q прямой на плоскость α : .

Решение . Найдем уравнение проектирующей плоскости β , т.е. плоскости , содержащей в себе прямую р , и перпендикулярной плоскости α .Направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости α параллельны плоскости β . Точка и , если - текущая точка β , то вектор лежит в плоскости β . Векторы и - компланарны . Запишем условие этого

.

После упрощения получаем β : . Объединив это уравнение проектирующей плоскости с уравнением плоскости проекции α , получим общие уравнения искомой проекции q прямой р :

(1)

Последний шаг в решении задачи – переход от общих уравнений (1) к каноническим, для чего надо найти направляющий вектор прямой q и точку , ей принадлежащую (или две точки) . Нормальные векторы плоскостей α и β , будучи перпендикулярными своим плоскостям , перпендикулярны и линии их пересечения q . А значит их векторное произведение параллельно q ,(по определению и т.е. может служить направляющим вектором этой прямой:

.

Чтобы найти точку , принадлежащую q , найдем какое-нибудь решение системы (1). Так как неизвестных больше уравнений , то одно из неизвестных , например z, можно выбрать произвольно . Пусть z = 0 . Тогда система (1) имеет вид

.

Решив ее , находим : x = 1 , y = 2 . Итак , теперь можно составить канонические уравнения проекции q прямой р на плоскость α как прямой , проходящей через в направлении

.

Задача 10. Поворотом системы координат исключить из уравнения член , содержащий произведение переменных .

Решение . Решим задачу в общем виде . Уравнение линии второго порядка имеет вид

(2)

При повороте системы координат на угол α старые координаты точки (x,y) связаны с новыми известными формулами

После подстановки этих формул в уравнение (2) и элементарных преобразований получим уравнение линии в новой системе координат :

.

Здесь :

Если мы хотим , чтобы пропал член , содержащий произведение переменных , то угол α необходимо выбрать таким , чтобы , т.е.

.

Итак, ответ в общем виде такой : угол поворота α должен удовлетворять уравнению

.

В нашей задаче имеем : А=5 , В=8, С=5 . Значит ,т.е. . Одно из решений этого уравнения . Вычисляем новые коэффициенты по приведенным выше формулам :

Итак , повернув систему координат на , мы получим уравнение

.

Замечание. Старшие коэффициенты полученного уравнения (не содержащего произведения переменных ! ) позволяют частично определить вид линии : т.к. эти коэффициенты имеют одинаковый знак , то данное уравнение определяет эллипс , или одну точку , или , вообще , ничего не определяют ( в последних двух случаях говорят, что уравнение определяет вырожденный или мнимый эллипс ) .

Ответ: в новой системе координат линия имеет уравнение .

Задача 11. Уравнение линии привести к нормальному виду .

Решение . Группируем одноименные переменные и выделяем в каждой группе полный квадрат :

Разделив обе части последнего уравнения на правую часть , мы и получим нормальное уравнение линии :

(3) .

Это уравнение определяет гиперболу , оси которой параллельны осям координат (это вытекает и из общего уравнения – в нем отсутствует член , содержащий ) . Центр гиперболы расположен в точке , действительная полуось а=2 , мнимая b=3, половина расстояния между фокусами .Вершины : .Фокусы :

Гипербола (3) получается из канонической гиперболы путем параллельного переноса центра в точку . Асимптоты канонической гиперболы имеют уравнения

, т.е. .

Для нашей гиперболы уравнения асимптот таковы

Ответ: нормальное уравнение

Задача 12. Провести касательную q к линии : 1) , параллельную прямой 2) , перпендикулярную прямой 3) через точку М(-5;-4), принадлежащую линии; 4) через точку N(5;-7) .

Решение . Сделаем несколько общих замечаний относительно касательных к линиям второго порядка . Касательные к окружности , эллипсу , гиперболе и параболе можно определить как прямые , имеющие с линией единственную общую точку . Из этого определения надо сделать два исключения : прямые , параллельные оси параболы , и прямые ,параллельные одной из асимптот гиперболы . Эти прямые имеют с соответствующей линией одну общую точку , не являясь при этом касательными .

Если требуется провести касательную к линии через точку лежащую на ней , то можно использовать следующие свойства касательных : а) касательная к окружности перпендикулярна радиусу , проведенному в точку касания; b)касательная к эллипсу перпендикулярна биссектрисе угла , образованного фокальными радиусами точки касания ; с) касательная к гиперболе сама является биссектрисой этого угла ; d)касательная к параболе перпендикулярна биссектрисе угла , образованного осью параболы и фокальным радиусом точки касания .

1)В качестве нормального вектора касательной q берем нормальный вектор данной прямой , а именно (т.к. по условию ) . Уравнение касательной запишем в общем виде , а неизвестный параметр С определяем из того условия , что q и имеют единственную общую точку . Другими словами , система уравнений

должна иметь единственное решение. Выразим из первого уравнения y через x и подставим во второе уравнение. После преобразований получим

.

Это квадратное уравнение имеет единственное решение (лучше , конечно , говорить о двух совпадающих решениях ) , если только его дискриминант равен 0 . Итак , для определения параметра С имеем условие

.

Решая его , находим : Итак , имеется две касательные к , параллельные . Это

и .

2)Уравнение прямой запишем в форме уравнения прямой с угловым коэффициентом : . И уравнение касательной q будем искать в такой же форме : . А так как угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по величине и противоположны по знаку , то k =-2 . Неизвестный параметр b находим , как и в предыдущем пункте , из того условия , что система

имеет единственное решение . Другими словами , дискриминант квадратного уравнения равен 0 . После преобразований получаем уравнение для b :

.

Откуда . Итак , имеется две касательных к , перпендикулярные :

, .

3)Линия - это гипербола (старшие коэффициенты противоположных знаков). Ее каноническое уравнение

.

Из него находим : Ее фокусы лежат на оси Ох (коэффициент перед положительный ) и имеют координаты . Найдем векторы , направленные по фокальным радиусам точки М(-5;-4) :

и .

Теперь нетрудно найти вектор , направленный по биссектрисе угла , образованного фокальными радиусами точки М :

.

Используя свойство касательной к гиперболе , можно сделать вывод : вектор является ее направляющим вектором . Запишем уравнение касательной в канонической форме :

.

Итак , искомая касательная имеет вид

4)Уравнение касательной будем искать в форме , где , а k – угловой коэффициент прямой q . В нашем случае , а неизвестный параметр k находим , как и в пунктах 1) и 2) , из того условия , что система

имеет единственное решение . После преобразований находим уравнение для ординат точек пересечения параболы и прямой :

.

Дискриминант этого уравнения приравняем к нулю и получим уравнение для . Отсюда : Теперь можно составить уравнения искомых касательных :

и .

Задача 13. Установить , какая линия определяется уравнением

. (4)

Решение . Уединим корень в правой части уравнения и возведем обе его части в квадрат :

.

В уравнении имеется квадрат только одной переменной , значит оно определяет параболу . Приводим уравнение к нормальной форме :

. (5)

Эта форма позволяет сказать о линии следующее : вершина параболы находится в точке V(-3;2) , её ось – параллельна оси Оу , ветви направлены вниз (знак ”-” перед правой частью ) . Параметр параболы равен р=4 , поэтому фокус и директриса .

Однако , при возведении в квадрат обеих частей исходного уравнения могли появиться и появились посторонние решения . Так как выражение всегда неотрицательно , то получаем , что абсциссы точек линии (4) удовлетворяют условию , то есть эта линия лежит левее прямой .Итак , данное уравнение определяет левую половину параболы (5) .

Ответ: уравнение определяет восходящую ветвь параболы .