Лин. алгебра и аналит. геометрия / Метод. указания / Решение типовых задач

Часть1.РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Задача 1. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы имело место соотношение ?

Решение. Возведем обе части данного равенства в квадрат и воспользуемся известным фактом : скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины . Будем иметь:

.

Но для скалярного произведения справедливы формулы сокращенного умножения , поэтому после упрощения получим

.

По определению φ , где φ- угол между векторами . Сравнивая это определение с последней формулой , делаем вывод : cos φ = -1 т.е. φ = π , значит векторы противоположно направлены . Кроме того , , значит не короче .

Ответ : ↑↓ и ≥ .

Задача 2. Найти вектор , направленный по биссектрисе угла , образованного векторами и .

Решение. Сумма векторов – это одна из диагоналей параллелограмма , построенного на векторах . Но в общем случае диагональ параллелограмма не является биссектрисой его углов . Чтобы это было так , параллелограмм должен быть ромбом , т.е. векторы-слагаемые должны иметь равные длины . Перейдем к ортам векторов и , для чего разделим эти векторы на их длины :

, .

Направления ортов совпадают с направлениями самих векторов (т.к. векторы делятся на положительные числа ) , а длины одинаковы . Значит сумма ортов , как диагональ ромба , направлена по биссектрисе угла , образованного ими , т.е. по биссектрисе угла , образованного векторами и .

Ответ : искомый вектор имеет вид + .

Задача 3. Векторы и - взаимно перпендикулярные орты . Выяснить при каких значениях параметра t векторы и : 1)перпендикулярны; 2) коллинеарны .

Решение. Будем использовать известные условия , .

Напомним , что при скалярном и векторном умножении векторных “многочленов” скобки раскрываем обычным образом , учитывая следующее : скалярный квадрат вектора – это квадрат его длины , “векторный” квадрат – это всегда нуль-вектор, скалярное умножение коммутативно , а векторное антикоммутативно .

Итак , имеем :

, , ибо ;

.

Из полученных соотношений делаем выводы :

1. векторы и перпендикулярны , если t –2=0 , т.е. t=2 ;

2. векторы коллинеарны , если 2 t+1=0 ,т.е. t=-1/2

, ибо и неколлинеарны .

Замечание. На второй вопрос задачи можно ответить и другим образом . Коллинеарность векторов и означает = λ , где λ - некоторое число , т.е. или . Но векторы и - неколлинеарны, значит образуют базис , поэтому разложение любого вектора ( в частности ,вектора ) по и единственно , другими словами , коэффициенты двух равных линейных комбинаций и равны : 1= λ t и 2=- λ . Отсюда t=-1/2.

Ответ : при t=2 ; при t=-0,5 .

Задача 4. Найти вектор , удовлетворяющий условиям : 1) и ; 2) ; 3) образует с осью Оу тупой угол .

Решение . Из первого условия следует , что искомый вектор коллинеарен векторному произведению , ибо по определению - это вектор , перпендикулярный каждому из векторов-сомножителей . Вычисляем по известной формуле

,

где , :

.

Итак , , т.е. , где .

Далее , используя второе условие , находим

, , т.е. .

Чтобы определить знак множителя λ , обратимся к третьему условию , которое означает , что проекция искомого вектора на ось Оу отрицательна . А так как проекция вектора на ось Оу положительна , то λ<0 .Окончательно , λ =-2 и искомый вектор имеет вид .

Замечание. Условия задачи можно использовать и другим способом . Например : так как , то , т.е. 3x+2y+2z=0 ; а равенство означает (здесь x,y,z- проекции искомого вектора). При этом пришлось бы решать нелинейную систему из трех уравнений с тремя неизвестными.

Ответ: .

Задача 5. Даны вершины треугольника : А(-1;-2) , В(4;7) , С(-4;2) . Требуется: 1) составить уравнение и найти длину биссектрисы AD угла треугольника при вершине А ; 2) составить уравнение и найти длину высоты AH , опущенной из вершины А на противоположную сторону ; 3) найти площадь треугольника S .

Решение . Уравнение биссектрисы будем искать в канонической форме , а именно :

, где - точка , принадлежащая прямой р, - направляющий вектор прямой р . В качестве точки возьмем вершину А , а в качестве направляющего вектора – вектор , направленный по биссектрисе угла, образованного векторами и ( смотри задачу 2) . Найдем сначала эти векторы и их длины , используя известные формулы : если , то ; если , то . Для нашей задачи имеем :

Вектор направлен по биссектрисе угла , образованного векторами и . Находим его :

.

Но векторы вида и - коллинеарны , т.е. являются направляющими векторами одной и той же прямой . Поэтому в качестве направляющего вектора биссектрисы AD можно взять вектор . Итак , уравнение биссектрисы имеет вид :

, или после упрощения

AD : 7x – y + 5 =0 .

Длину биссектрисы найдем как расстояние от вершины А до точки пересечения D биссектрисы с противоположной стороной . Составим сначала уравнение стороны ВС, как уравнение прямой , проходящей через две точки:

.

Берем и . Получаем :

или после упрощения

ВС : 2x – 11y + 30 = 0 .

Координаты точки D - это решение системы линейных уравнений

или

Решив ее , например , методом Крамера ,

, ,

получим D (-1/3 ; 8/3 ) . Тогда искомая длина биссектрисы равна

AD = d(A,D) = .

Замечание. Эту часть задачи можно решать в ином порядке . Сначала можно найти координаты точки D , используя известный из элементарной геометрии факт : точка D делит сторону ВС в отношении λ = BD/DC = AB/AC . В нашей задаче λ=10/5 = 2 . Теперь координаты точки , делящей отрезок в заданном отношении , находим по формулам

,

.

Теперь уравнение биссектрисы находим как уравнение прямой , проходящей через две точки .

2)Длину высоты АН , опущенной из вершины А , находим как расстояние от точки А до прямой ВС . Общая формула :

, где .

Имеем в нашей задаче :

АН=.

Уравнение высоты ищем в общем виде :

, где - нормальный вектор прямой р . В нашем случае , а :

АН : -11 (x + 1)-2 (y + 2) = 0 или после упрощения

AH : 11 x + 2 y + 15 = 0 .

Замечание. Из уравнения прямой ВС (полученного ранее) легко найти нормальный вектор этой прямой : . Для высоты АН этот вектор является направляющим и уравнение АН можно находить в канонической форме :

.

3)Для вычисления площади треугольника используем геометрический смысл : длина векторного произведения двух векторов есть площадь параллелограмма , построенного на этих векторах . А площадь треугольника – это половина площади параллелограмма . Векторы и мы уже знаем . Находим их векторное произведение :

.

Итак ,

(ед.кв.) .

Замечание. Этот способ вычисления площади треугольника является наиболее рациональным в случае , когда известны координаты его вершин .

Задача 6. Определить параметры , входящие в уравнения прямых и плоскостей, используя данные об их взаимном расположении : 1) прямые

и

пересекаются под прямым углом ; 2) для точки , плоскости и прямой известно , что и .

Решение . 1)Общий вид канонических и параметрических уравнений прямой : и

В этих уравнениях : - точка , принадлежащая прямой , - направляющий вектор прямой (т.е. вектор , лежащий на прямой , или параллельный ей ) . Из условий задачи сразу получаем :

Условие означает , что , т.е. . Отсюда : , значит l = 1 .Тот факт , что p и q пересекаются означает , что эти прямые определяют некоторую плоскость и в этой плоскости лежат или параллельны ей векторы и . Другими словами , эти векторы компланарны , а значит их смешанное произведение равно 0 :

.

Отсюда . Параметры найдены .

2)Известно , что в общем уравнении плоскости коэффициенты при переменных – это координаты нормального вектора плоскости (т.е. вектора перпендикулярного ей ) . В нашем случае нормальный вектор плоскости α имеет вид . Из уравнений прямой р получаем : - направляющий вектор прямой , - точка , принадлежащая прямой .

Отличное от нуля расстояние означает , что , т.е. . Отсюда получим : , значит А=2 .

Теперь воспользуемся известными формулами для расстояния от точки до прямой и плоскости ( очевидно , что = ):

, .

Вычислим эти расстояния :

;

;

;

= .

Приравняв полученные выражения к числам , данным в условии задачи , получим систему двух уравнений с одним неизвестным :

Решениями первого уравнения являются числа . Но второму уравнению удовлетворяет только значение . Итак , параметры , входящие в уравнения , найдены А = 2 , t = -1 .

Задача 7. Составить уравнение плоскости α , если известно , что 1) : и , где ; 2) α проходит через точку пересечения прямой и плоскость , причем .

Решение . Наиболее общий прием составления уравнения плоскости состоит в следующем . Берем произвольную (текущую) точку искомой плоскости , т.е. точку с переменными координатами M(x,y,z) . Далее находим три вектора ,лежащие в искомой плоскости или параллельны ей , причем конец одного из них – это текущая точка М , и векторы попарно неколлинеарны . Записываем условие компланарности этих векторов , т.е. . Это и будет уравнение искомой плоскости .

Если же известны некоторый вектор , перпендикулярный искомой плоскости , и точка , принадлежащая ей , то уравнение такой плоскости имеет вид .

1)Из канонических уравнений прямых находим их направляющие векторы и точки , принадлежащие соответствующим прямым . Берем текущую точку . Так как , то вектор лежит в плоскости α . Далее ,так как по условию и , то и . Итак , у нас есть требуемая тройка компланарных векторов . Находим их смешанное произведение

.

Приравняем это выражение к нулю и после упрощения получим уравнение искомой плоскости α : 23x – 16y + 10z – 153 = 0 .

2)Так как , то направляющий вектор прямой р является одним из нормальных векторов плоскости α : . Теперь найдем точку пересечения плоскости и прямой . Для этого запишем уравнения прямой в параметрическом виде, обозначив каждое из трех отношений , составляющих канонические уравнения , через t :

или

Подставив эти уравнения в уравнение плоскости β , получим , откуда t = -3 . Это значение параметра соответствует точке пересечения . Её координаты , и .

Составляем общее уравнение плоскости проходящей через точку с нормальным вектором : .

После упрощения получим

.

Задача 8. Даны вершины треугольника А(1;2;-1) , В(7;9;-3) и С(4;8;8) . Составить каноническое уравнение его высоты , опущенной из вершины В на противоположную сторону .

Решение . Спроектируем вершину В на сторону АС (или ее продолжение) , для чего через точку В проведем плоскость α , перпендикулярную стороне АС .Для этой плоскости вектор является нормальным . Поэтому уравнение плоскости α имеет вид

,

или после упрощения

α : .

Проекцией точки В на сторону АС является точка пересечения плоскости α и прямой р , на которой лежит сторона АС . Для этой прямой р вектор является направляющим вектором . Зная , что р проходит через точку А(1;2;-1) , можно составить параметрические уравнения р :

Найдем точку пересечения р и α :

,

откуда t =1/3 , x=1+1 = 2 , y = 2+2 = 4 , z = -1+3 = 2 .

Итак , проекция точки В на АС , т.е. основание высоты имеет координаты D(2;4;2) . Составим уравнения высоты AD как уравнения прямой , проходящей через две точки. Общий вид таких уравнений

.

В нашей задач имеем

.

После упрощения получим требуемые уравнения высоты треугольника

.

Замечание. Эту задачу можно решить и другим способом , заметив , что высота BD является линией пересечения двух плоскостей , а именно : плоскости α , проходящей через точку В перпендикулярно АС и плоскости β , проходящей через вершины треугольника . Уравнение плоскости β можно легко найти , используя общий прием. Если M(x,y,z)– текущая точка β , то векторы и лежат в β.

Записав условие компланарности этих векторов , получим уравнение β . Объединив уравнения плоскостей α и β в систему , получим общие уравнения высоты BD (переход от общих уравнений к каноническим разобран в следующей задаче ) .