III Параметрические уравнения прямой
Пусть даны канонические уравнения какой-либо прямой. Обозначим буквой t каждое из трех равных отношений, которые участвуют в канонических уравнениях:
.
Отсюда:
И окончательно
(5)
Это и есть
параметрические уравнения прямой,
проходящей через точку M0(x0,y0,z0)
в направлении
вектора
.
Эти уравнения удобно применять в тех
случаях, когда требуется найти точку
пересечения прямой и плоскости.
Пример. Найти проекцию данной точки M0(5, 2,–1) на плоскость α: 2x–y+3z+23=0.
Решение.
Проведем через M0
прямую
;
ее направляющим вектором служит
нормальный вектор плоскости
Имеем параметрические уравнения (5)
Проекция точки M0 на плоскость α – это точка пересечения прямой p с плоскостью α, ее координаты – это решение системы, составленной из уравнения плоскости и уравнений прямой. Подставим параметрические уравнения прямой в общее уравнение плоскости:
2(5+2t)–(2–t)+3(–1+3t)+23=0.
Отсюда t= –2 и координаты искомой точки имеют вид:
x=5+2(–2)=1; y=2–(–2)=4; z= –1+3(–2)= –7.
§8. Расстояние от точки до прямой в пространстве
Получим формулу для вычисления расстояния d(M*, p) от точки M*(x*,y*,z*) до прямой
.
Будем считать, что
направляющий вектор прямой
лежит на прямой и приложен в ее точкеM0(x0,y0,z0).
Рассмотрим параллелограмм, построенный
на векторах
и
.
Его высотаh,
опущенная из вершины M*
на сторону
и есть искомое расстояние. Вспомним
формулы для вычисления площади
параллелограмма:
и
.
Сравнивая их, будем иметь:
.
Это и есть искомая
формула для расстояния от точки
M*(x*,y*,z*),
до прямой проходящей через точку
M0(x0,y0,z0)
в направлении вектора
.
§9. Взаимное расположение двух прямых в пространтве
Пусть две прямые p1 и p2 в пространстве заданы своими каноническими уравнениями:
,
.
Параллельность,
перпендикулярность и угол между прямыми
вполне определяется их направляющими
векторами
и
.
Условие параллельности:
.
Условие перпендикулярности:
.
Угол φ между прямыми определяется по формуле:
.
Две прямые в
пространстве могут: 1) пересекаться; 2)
быть параллельными; 3) скрещиваться. В
первых двух случаях прямые лежат в одной
плоскости. Наряду с направляющими
векторами прямых
и
,
рассмотрим вектор
,
где
.
Прямые лежат в одной плоскости тогда и
только тогда, когда эти векторы
компланарны, что, в свою очередь,
равносильно равенству нулю их смешанного
произведения. Выразив смешанное
произведение через проекции векторов,
получим условие принадлежности прямыхp1
и p2
одной плоскости:
.
§10. Взаимное расположение плоскости и прямой в пространстве
Пусть
дана плоскость α:
Ax+By+Cz+D=0
с нормальным вектором
и прямая
с направляющим вектором
,
проходящая через точкуM0(x0,y0,z0).
α φ p
Условие параллельности прямой и плоскости:
.
Условие перпендикулярности прямой и плоскости:
.
Угол φ между прямой и плоскостью определяется по формуле:
Условия принадлежности прямой плоскости:
