§3. Неполные уравнения плоскости

Рассмотрим сейчас некоторые частные случаи общего уравнения плоскости Ax+By+Cz+D=0, именно случаи, когда какие-либо из коэффициентов A,B,C,D обращаются в ноль.

1. D=0; плоскость Ax+By+Cz=0 проходит через начало координат.

2. A=0; плоскость By+Cz+D=0 параллельна оси Ox (поскольку ее нормальный вектор перпендикулярен осиOx).

3. B=0; плоскость Ax+Cz+D=0 параллельна оси Oy (ибо этой оси перпендикулярен ее нормальный вектор ).

4. С=0; плоскость Ax+By+D=0 параллельна оси Oz (по причине аналогичной в пунктах 2) и 3)).

5. A=0, B=0; плоскость Cz+D=0 параллельна координатной плоскости Oxy (в силу 2) и 3) она параллельна осям Ox и Oy).

6. A=0, C=0; плоскость By+D=0 параллельна координатной плоскости Oxz.

7. B=0, C=0; плоскость Ax+D=0 параллельна координатной плоскости Oyz.

8. B=0, D=0; плоскость Ах+Cz=0 проходит через ось ординат.

9. C=0, D=0; плоскость Ах+By=0 проходит через ось аппликат.

10. А=0, D=0; плоскость Ву+Сz=0, проходит через ось абсцисс.

1

0

2

z

y

3

0

z

y

x

1

x

x+2y–2=0 3x+z–3=0

1

3

2

1

x=1

0

3

y=3

y=0

z=0

0

z

z=2

2

y

x

0

z

y

x

z

y

x

z

y

x

6x+2y+3z–6=0

x=0

§4. Взаимное расположение двух плоскостей

Рассмотрим две плоскости

α₁: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0,

α₂: A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0.

Как и в случае прямых на плоскости, взаимное расположение плоскостей полностью определяется их нормальными векторами и.

Условие параллельности плоскостей:

, что означает

.

Условие перпендикулярности плоскостей:

что означает

.

Угол (острый) φ между плоскостями:

.

§5. Расстояние от точки до плоскости

Пусть даны точка M^*(x^*;y^*;z^*) и плоскость α: Ax+By+Cz+D=0. Формула для расстояния d(M^*,α) от точки M^* до плоскости α выводится аналогично формуле для расстояния от точки до прямой на плоскости. Если M₀ некоторая точка плоскости α, то

.

Применяя формулу, выражающую проекцию одного вектора на другой через их скалярное произведение, и учитывая условие (т.е.Ax₀+By₀+Cz₀+D=0 – верное равенство), получим

.

Это и есть формула для вычисления расстояния от точки M^*(x^*;y^*;z^*) до плоскости α:Ax+By+Cz+D=0.

Пример. Составить уравнение плоскостей, параллельных данной плоскости α: 2x–2y–z–3=0 и отстоящих от нее на расстояние d=5.

Решение. Найдем какое-нибудь решение уравнения 2x–2y–z–3=0. Пусть, например x=0, y=0, тогда z= –3, значит точка M₀(0;0;–3)α. По условию искомые плоскости параллельны данной. Значит, их уравнения отличаются от уравнения данной плоскости α лишь свободным членом:

β:2x–2y–z+D=0.

Запишем расстояние от точки M₀ до плоскости β и приравняем его 5:

,

или ,.

Отсюда имеем D₁=–18, D₂=12. Искомые плоскости имеют уравнения:

2x–2y–z–18=0 и 2x–2y–z+12=0.

ЛЕКЦИЯ 8