§7. Обратная матрица
Пусть А – квадратная матрица n-го порядка, а Е – единичная матрица того же порядка.
Матрица В называется обратной по отношению к матрице А, если АВ=ВА=Е.
Теорема. Всякая матрица с отличным от нуля определителем (т.н. невырожденная матрица) имеет обратную и притом единственную.
Доказательство. Вычислим алгебраические дополнения Aij всех n2 элементов матрицы А, составим из них новую матрицу и транспонируем её. Получим т.н. союзную матрицу:
.
Рассмотрим
произведение матриц
А∙А*=(сij).
Его элементы вычисляются по формуле
.
Если i=j,
то эта сумма равна определителю ∆=det(A)
(по
определению), если же
i≠j,
то она равна 0
(по свойству 9). Итак, матрица А∙А*
имеет вид
=∆∙Е.
Но тогда
.
Аналогично можно показать, что иА*А=∆·Е
и
.Все
это означает, что матрица
и есть обратная матрица по отношению к
матрицеА.
Докажем единственность. Пусть существует еще одна матрица С (кроме построенной выше В) такая, что СА=АС=Е. Тогда: С=СЕ=С(АВ)=(СА)В=ЕВ=В, т.е. С совпадает с матрицей В. Теорема доказана.
Замечание. Матрицу обратную к матрице А, принято обозначать символом А-1. В силу одного из свойств определителей.
Пример. Найти матрицу, обратную к данной
.
Решение. Убедимся, что матрица А невырожденная: Δ=а11∙A11=1∙(3∙5–3∙4)=3≠0. Находим алгебраические дополнения элементов матрицы А:
Составляем союзную матрицу
.
Находим обратную матрицу
.