§6. Касательные к кривым 2го порядка

I Определения

Касательную к окружности, эллипсу, гиперболе и параболе можно определить как прямую, имеющую с кривой одну общую точку, за исключением двух случаев: 1) прямая, параллельная асимптоте гиперболы, пересекает ее в одной точке, но не является касательной; 2) прямая, параллельная оси параболы, пересекает параболу в одной точке, но не является касательной.

Касательную к окружности можно определить и как прямую, проходящую через точку окружности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку.

II Уравнения касательных

Методами математического анализа можно получить (нужно уметь!) уравнения касательных к линиям, заданными своими каноническими уравнениями. Пусть точка (x₀ ,y₀) лежит на линии. Тогда:

1. касательная к эллипсу имеет вид;

2. касательная к гиперболе имеет вид;

3. касательная к параболе y²=2px имеет вид y₀y=p(x+x₀).

Замечание. Окружность понимаем как частный случай эллипса.

III Некоторые свойства касательных

1. Фокусы эллипса расположены по одну сторону от любой его касательной, а фокусы гиперболы – по разные стороны.

2. Фокальные радиусы любой точки эллипса (гиперболы) образуют равные углы с касательной, проходящей через эту точку.

3. Произведение расстояний от фокусов эллипса (гиперболы) до любой касательной к линии есть величина постоянная.

4. Отрезок касательной к гиперболе, заключенный между ее асимптотами, делится пополам точкой касания.

5. Площадь треугольника, образованного касательной к гиперболе и ее асимптотами, есть величина постоянная.

6. Касательная к параболе в любой ее точке образует равные углы с фокальным радиусом этой точки и лучом, исходящим из нее и идущим параллельно оси параболы в ту сторону, куда парабола бесконечно простирается.

7. Касательные к эллипсу (гиперболе), проведенные в концах одного и того же диаметра, параллельны.