II Определяющее свойство гиперболы

Обозначим и рассмотрим точкиF₁(–c;0) и F₂(c;0) (их называют фокусами гиперболы). Можно доказать (докажите!), что для любой точки M гиперболы (1) имеет место соотношение

.

Как и для эллипса, это свойство можно взять за определение и получить каноническое уравнение (1) в некоторой ДПСК.

Определение 2. Гипербола есть геометрическое место точек (плоскости), для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек (называемых фокусами гиперболы) есть величина постоянная

(меньшая расстояния между фокусами).

III Элементы гиперболы

Оси симметрии гиперболы называют, обычно, просто ее осями, а точку их пересечения – центром гиперболы. Для канонической гиперболы – это оси координат и начало координат. Точки пересечения гиперболы со своими осями – это вершины гиперболы. Гипербола (1) имеет две действительные вершины A₁(–a;0) и A₂(a;0) и две “мнимые” вершины B₁(0;–b) и B₂(0;b). Отрезок A₁A₂ и его длина 2а называется действительной осью гиперболы (1), а отрезок B₁B₂ и его длина 2b – мнимой осью (a и b – полуоси, действительная и мнимая). Прямоугольник со сторонами 2a и 2b, расположенный симметрично относительно осей гиперболы и касающийся ее в вершинах называется основным прямоугольником гиперболы. Диагонали этого прямоугольника – прямые – это асимптоты гиперболы.

Для любой точки M гиперболы

отрезки MF₁ и MF₂ и их длины

r₁ и r₂ называются фокальными

радиусами этой точки.

Гипербола состоит из двух частей,

которые называются ветвями.

IV Нормальное уравнение гиперболы

Гипербола, центр которой имеет координаты (x₀;y₀), а оси парал- лельны координатным осям, имеет уравнение

. (3)

Фокусы этой гиперболы лежат на прямой y=y₀.

Замечание 1. Уравнение вида

(4)

также определяет гиперболу. Ее фокусы и действительные вершины лежат на оси Oy. Гиперболы (1) и (4) в одной и той же системе координат и при одних и тех же значениях полуосей a и b называются сопряженными друг с другом.

Замечание 2. Гипербола с равными полуосями (a=b) называется равносторонней. Каноническое уравнение такой гиперболы пишут в виде

x²–y²=a². Ее асимптоты взаимно перпендикулярны.

Типовые задачи аналогичны задачам для эллипса.

§5. Парабола

I Каноническое уравнение параболы

Определение 1. Параболой называется линия, которая в некоторой ДПСК имеет уравнение

где p – некоторое положительное число.

Рассмотрим параболу (1). Т.к. замена y на (–y) не изменяет уравнения, это означает симметрию линии относительно оси Ox. В верхней полуплоскости уравнение (1) равносильно уравнению

. (3)

При x<0 корень не существует, следовательно, левее оси ординат ни одной точки параболы (1) нет. При x=0 получаем y=0: начало координат является самой “левой” точкой параболы (1) и с возрастанием x от 0 до

y возрастает аналогично. Методы математического анализа позволяют выяснить, что линия (3) выпукла вверх и в начале координат касается оси ординат. Асимптот у параболы нет.