II Определяющее свойство эллипса

Предположим, что a>b и обозначим . ТочкиF₁(–c;0) и F₂(c;0) называются фокусами эллипса (если b>a, то и фокусы лежат наOy на расстоянии с от начала координат). Докажем, что для любой точки эллипса сумма ее расстояний до фокусов равна 2а.

Пусть M(x,y) – произвольная точка эллипса (1). Тогда ,. Вычислим расстояние:

Так как с<a, то и , поэтому выражение под знаком модуля в формуле для r₁ положительно. Значит

.

Аналогично можно показать (покажите!), что

.

Легко увидеть, что r₁+r₂=2a.

Доказанное свойство можно взять за определение эллипса, после чего получить каноническое уравнение (1) при некотором выборе ДПСК.

Определение 2. Эллипс есть геометрическое место точек (плоскости), для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек (называемых

фокусами) есть величина постоянная (большая расстояния между фокусами).

III Элементы эллипса

Эллипс имеет две оси симметрии, которые называются осями эллипса. Точка пересечения осей – это центр эллипса. Точки пересечения эллипса со своими осями – это вершины эллипса. Отрезки осей между вершинами и их длины также называют осями: большая ось (на ней лежат фокусы) и малая ось. Половины этих осей называют полуосями (большая и малая). Кроме того, для любой точки M эллипса отрезки MF₁ и MF₂ и их длины r₁ и r₂ называют фокальными радиусами этой точки (формулы для фокальных радиусов см. пункт II).

Пример. Найти элементы эллипса .

Полуоси:– большая,

– малая.

Вершины: A₁(–5;0), A₂(5;0), B₁(0;–3), B₂(0;3).

Расстояние между фокусами: .

Фокусы: F₁(–4;0), F₂(4;0).

IV Нормальное уравнение эллипса.

Исходя из определения 2, выберем ДПСК так, чтобы центр эллипса имел координаты (x₀,y₀), а его оси были параллельны координатным осям. В этой системе эллипс будет определяться уравнением

. (3)

К этому же уравнению приходим и исходя из определения 1 после параллельного переноса системы координат в точку (–x₀;–y₀).

Фокусы эллипса (3) лежат на прямой y=y₀, если a>b, и на прямой x=x₀ , если a<b.

V Параметрические уравнения эллипса (1):

Замечание. Окружность – это частный случай эллипса, когда a=b.

А эллипс можно понимать как деформированную окружность.

Типовые задачи. 1). Составить каноническое уравнение эллипса, зная некоторые из его элементов. 2). Общее уравнение эллипса, например x²+4y²+4x–8y–8=0, привести к нормальному виду и найти элементы эллипса. 3). Выяснить, какую линию определяет уравнение .

ЛЕКЦИЯ 10

§4. Гипербола

I Каноническое уравнение гиперболы

Определение 1. Гиперболой называется линия, которая в некоторой ДПСК имеет уравнение

(1)

где a и b – некоторые положительные числа.

Гипербола (как и эллипс) симметрична относительно обеих осей координат. В первой четверти уравнение (1) эквивалентно уравнению

. (2)

При гипербола (2) не существует,y(a)=0 и при стремлении x в ,у также стремится в . Чтобы выяснить характер этого стремления, рассмотрим прямуюи найдем расстояниеd(M,p), где M(x,y)– текущая точка гиперболы (2):

Умножая и деля полученное выражение на , получим

.

Теперь нетрудно заметить, что при, т.е. гипербола (2) приближается к прямойp. Эту прямую ( а с ней и прямую в

силу симметрии) называют асимптотой гиперболы.