ЛЕКЦИЯ 9

Тема Линии второго порядка.

§1. Общее уравнение

Определение. Уравнение с двумя переменными вида

Ax²+By²+Cxy+Dx+Ey+F=0 (1)

называется уравнением второй степени, а линия, которую оно определяет – линией второго порядка (если только хотя бы один из старших коэффициентов A, B или C отличен от нуля).

При некоторых значениях коэффициентов уравнение (1) определяет так называемые вырожденные линии второго порядка: уравнение x²+y²=0 определяет одну точку O(0;0); уравнение x²+2y²+1=0 не определяет никакого геометрического образа; уравнения x²–y²=0 и x²–1=0 определяют пары прямых (пересекающихся и параллельных).

Если исключить из рассмотрения вырожденные линии, то собственно кривая второго порядка может быть одной из четырех типов: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

Поворотом системы координат на некоторый угол (он определяется как решение уравнения (B–A)sin2α+Ccos2α=0), можно исключить из уравнения (1) член, содержащий произведение переменных. В дальнейшем будем считать, что такой поворот уже выполнен, т.е. в уравнении (1) коэффициент С=0. Тогда вид кривой определяется по коэффициентам A и B следующим образом:

1. A=B – уравнение (1) определяет окружность (или пустое множество, или единственную точку);

2. A∙B>0 (т.е. A и B одного знака) – уравнение определяет эллипс (или пустое множество, или точку);

3. A∙B<0 (т.е. A и B различного знака) – уравнение определяет гиперболу (или пару пересекающихся прямых);

4. A∙B=0 (в уравнении отсутствует квадрат одной из переменных) – уравнение определяет параболу (или пару параллельных прямых).

Путем выделения полных квадратов уравнение (1) можно привести к нормальной форме:

A(x–x₀)²+B(y–y₀)²+G=0 в случаях 1), 2), 3);

A(x–x₀)²+E(y–y₀)=0 или

B(y–y₀)²+D(x–x₀)=0 в случае 4).

Перенося начало системы координат в точку (x₀,y₀), получим канонические уравнения кривых второго порядка.

§2. Окружность

Определение. Окружность есть геометрическое место точек (плоскости), каждая из которых находится на расстоянии R (называется радиусом окружности) от фиксированной точки C (называемой центром).

Пусть система координат выбрана так, что центр окружности имеет координаты C(x₀,y₀); тогда окружность определится уравнением (нормальным):

(x–x₀)²+(y–y₀)²=R². (1)

Если же начало координат поместить в центр окружности, получим каноническое уравнение:

x²+y²=R². (2)

Уравнения (1) и (2) – это простые следствия формулы расстояния между двумя точками плоскости.

Часто встречаются уравнения т.н. смещенной окружности, центр которой лежит на одной из осей координат на расстоянии радиуса от начала координат. Например,

(x–R)²+y²=R² или x²+y²=2Rx. (3)

Параметрические уравнения окружности (2) имеют вид:

Полярные уравнения:

окружности (2) – ρ=R;

окружности (3) – ρ=2Rcosφ.

Типовые задачи. Дано общее уравнение окружности

2x²+2y²+8x–4y+3=0.

Требуется : 1) найти радиус и центр окружности; 2) установить, как расположены относительно окружности точка А(2;7) и прямая p: y=5x+7; 3) установить, как расположена относительно данной окружности другая окружность x²+y²=25; 4) через начало координат провести касательные к окружности.

§3. Эллипс

I Каноническое уравнение эллипса

Определение 1. Эллипсом называется линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение

(1)

где a и b – некоторые положительные числа.

Уравнение (1) не изменится, если заменить x на (–x). Это означает, что вместе с точкой (x₀,y₀) эллипсу принадлежит и точка (–x₀,y₀), т.е. эллипс (1) симметричен относительно оси Oy. Аналогично, можно сделать вывод и о симметрии относительно оси Ox. Поэтому достаточно рассмотреть линию (1) лишь в первой четверти, где явное уравнение эллипса (1) имеет вид:

. (2)

Функция (2) убывает от y(0)=b до y(a)=0, при x>a – не существует. Методами математического анализа можно показать, что линия (2) выпукла вверх и перпендикулярна осям координат в точках пересечения с ними.