§9. Смешанное произведение трех векторов

I Правые и левые тройки векторов

Если одновременно с заданием трех векторов сказано, какой из них считается первым, какой вторым и какой третьим, то говорят, что задана упорядоченная тройка (или просто “тройка”) векторов. В тексте тройка записывается в порядке нумерации.

Тройка некомпланарных векторов называется правой, если, после приведения их к общему началу, из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму кажется совершающимся против часовой стрелки. Если же указанный поворот по часовой стрелке, то тройка называется левой.

Тройка

Правая

Левая

II Определение смешанного произведения и его смысл

Смешанным произведением векторов называют скалярное произведение векторови

Можно показать, что получается тот же самый результат, если скалярно перемножить векторы и. Поэтому для смешанного произведения векторовииспользуют символ

Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах, взятому со знаком (+), если тройка– правая, а со знаком (–), если тройка левая.

III Выражение смешанного произведения через проекции

Пусть ,и. Тогда

по определению имеем:

В полученном выражении легко увидеть разложение определителя, составленного из проекций перемножаемых векторов. Итак, имеем формулу, выражающую смешанное произведение трех векторов через проекции сомножителей:

.

IV Условие компланарности векторов

Векторы ,икомпланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равнонулю, т.е.

.

Действительно, если икомпланарные, толежит в плоскости векторов и , а векторперпендикулярен этой плоскости (по определению векторного произведения). Но тогда, , а значит .

С другой стороны, если определитель равен нулю, то одна из его строк есть линейная комбинация двух других, т.е. один из векторов есть линейная комбинация двух других, а значит лежит в плоскости этих двух векторов (заметим, что все векторы считаются приведенными к общему началу).

Пример. Даны вершины тетраэдра A(3;2;1), B(1;4;–2), C(3;6;–7)

и D(–4;–5;8). Найти его объём и длину высоты, опушенной из вершины D.

Решение. Найдем векторы, идущие из вершины А тетраэдра по его ребрам:

Найдем смешанное произведение этих векторов

.

Объем параллелепипеда, построенного на равен(знак “–“ говорит о том, что эта тройка векторов левая). Объем тетраэдра, построенного на трех векторах, составляет одну шестую часть объема параллелепипеда, построенного на тех же векторах. Итак, искомый объем равен . С другой стороны,

,

оттуда . Площадь же основания найдем как половину модуля векторного произведения соответствующих векторов: если высота опускается из вершиныD, то основание – это ΔАВС. Находим векторное произведение:

.

Тогда

.

Итак,