§3. Векторы: основные определения

Некоторые физические величины, такие как скорость, ускорение, сила, характеризуются не только числовым значением, но и направлением. Они называются векторными величинами. Математической моделью такой величины служит вектор.

Вектором называют направленный отрезок, т.е. отрезок, для которого указано, какая из ограничивающих его точек считается началом, а какая концом.

На чертежах векторы обозначаются в виде стрелки →. В тексте вектор записывается либо двумя большими буквами с общей чертой наверху (первая из них – это начало, а вторая – конец), либо одной малой буквой с чертой, либо малой буквой полужирного шрифтаa .

Длиной вектора или модулем называется длина отрезка изображающего вектор. Обозначение ,иногдаАВ.

Вектор, длина которого равна нулю (т.е. конец совпадает с началом) называется нулевым: . Направление нулевого вектора следует считать вполне неопределенным. (нулевой вектор можно считать перпендикулярным любому вектору и коллинеарным любому вектору).

Единичным вектором, или ортом, называют вектор, длина которого равна 1.

Векторы, лежащие на одной прямой, или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Обозначение : | |. Коллинеарные векторы, направленные в одну сторону, называются одинаково направленными, а направленные в противоположные стороны – противоположно-направленными. Обозначения: , .

Векторы иназывают равными и пишут , если: 1) (имеют равные длины); 2) (одинаково направлены).

Такое определение равенства векторов означает, что векторы рассматривают с точностью до их положения на плоскости, в пространстве, т.е. не различая векторов, получающихся друг из друга параллельным переносом. В этом смысле векторы называют свободными. Точка приложения вектора – его начало – может быть выбрана произвольным образом.

Три вектора называются компланарными, если лежат в одной плоскости, или в параллельных плоскостях. В противном случае они называются некомпланарными.

Нетрудно доказать такие утверждения:

1. Если | | , то ,,– компланарные (для любого).

2. Векторы иколлинеарные;,,, – компланарные (для любыхи).

3. Если ,,некомпланарные, то любые два из них некол- линеарные.

§4. Линейные операции над векторами

I Сложение векторов

Суммой векторов иназывают вектор, обозначаемый+, который идет из начала векторав конец вектора, при условии, чтоприложен к концу. (“правило треугольника”) .

Полезная форма записи

.

Замечание. Сумму векторов можно находить и по так называемому правилу параллелограмма: приведем векторы ик общему началу, построим на них параллелограмм, тогда+есть диагональ этого параллелограмма, идущая из общего началаи. ''Правило треугольника'' удобно при сложении 3-х и более векторов, ''правило параллелограмма'' удобно тем, что на том же параллелограмме легко показать разность–.

II Умножение вектора на число

Произведением числа λ на вектор называют вектор, обозначаемый символомλи удовлетворяющий условиям: 1)|λ|=|λ|∙| |; 2) λ, еслиλ>0, и λ, если λ<0.

Ортом вектора называют орт^о, одинаково направленный с вектором . Очевидно, чтобы получить орт ненулевого вектора надо разделить вектор на его длину (т.е. умножить на):