III дпск в пространстве

Задается тремя взаимно перпендикулярными числовыми осями с общим началом отсчета и одинаковыми единичными отрезками. Оси занумерованы в некотором порядке, т.е. указано, какая из них считается первой, какая второй и какая третьей.

Первая и вторая называются так же, как и в предыдущем пункте, а третья называется осью аппликат и обозначается Оz.

Каждая пара осей определяет плоскость, которая называется координатной. Обозначения:хОу, хОz и уОz. Каждая плоскость разбивает пространство на два полупространства. В частности, горизонтальная плоскость хОу разбивает на верхнее (расположено в положительном направлении оси Oz)

и нижнее полупространства

Пусть М – произвольная точка пространства. Спроектируем ее на плоскость хОу. Получим точку М₁, которая на этой плоскости имеет вполне определенные координаты х и у. Они называются абсциссой и ординатой точки М. Третья координата – аппликата – точки М определяется формулой

z = ±d(M,M₁),

причем знак ''+'' выбираем, если М лежит в верхнем полупространстве, а знак ''–'', если в нижнем.

Расстояние между точками М(х₁,у₁,z₁) и N(х₂,у₂,z₂) вычисляется по формуле

.

Если точка С(х,у,z) делит данный отрезок MN в отношении λ

( т.е. МС: СN=λ ), то

.

Если требуется найти координаты середины отрезка MN, достаточно положить в этих формулах λ=1.

IV Полярная система координат

Рассмотренная выше ДПСК является наиболее употребительной. Однако, при решении некоторых задач могут оказаться более удобными и другие системы. Одной их таких СК на плоскости является так называемая полярная СК.

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О (называемой полюсом), луча, исходящего их этой точки (называемого полярной осью) и единичного отрезка для измерения длин. Кроме того, необходимо указать, какие повороты вокруг точки О считаются положительными. Обычно считаются положительными повороты, совершаемые против часовой стрелки.

Пусть М – произвольная точка плоскости, на которой задана ПСК. Обозначим через ρ расстояние d(O,M) и через φ – угол, на который

нужно повернуть полярную ось для совмещения ее с лучом ОМ. Угол φ будем понимать так, как это принято в тригонометрии, т.е. с точностью до слагаемого вида ±2nπ.

Полярными координатами точки М называются ρ и φ. При этом число ρ называется полярным радиусом точки М, а число φ – полярным углом. Чтобы избежать неоднозначности будем рассматривать только так называемое главное значение угла φ, т.е. значение, удовлетворяющее соотношению –π<φ≤π или 0≤φ<2π. Тогда каждая точка плоскости характеризуется вполне определенной парой чисел (ρ,φ). Исключение составляет полюс: его полярный угол не имеет определенного значения (полярный радиус равен нулю).

Вслучаях, когда приходится одновременно пользоваться и декартовой и полярной системами, возникает необходимость в формулах перехода от одной к другой. В частном

случае, когда полюс ПСК совпадает

с началом координат ДПСК, полярная

ось совпадает с положительной полуосью

абсцисс, эти формулы имеют вид

Заметим, что последняя формула для определения значения φ требует знания, в какой четверти находится точка.