Раздел II Аналитическая геометрия.

ЛЕКЦИЯ 4

Тема Векторная алгебра.

§1. Действительные числа. Числовая ось

Существуют различные методы построения теории действительных (вещественных) чисел. Мы будем считать действительными числами всевозможные десятичные дроби, положительные и отрицательные, конечные и бесконечные, периодические и непериодические. Конечные и бесконечные периодические дроби называют рациональными числами, бесконечные непериодические – иррациональными.

Модуль (или абсолютная величина) действительного числа а обозначается символом |а| и определяется формулой

Некоторые свойства модуля:

1.|а| ≥ 0;

2.|-а|= |а|;

3.|а∙b| = |а|∙|b|;

4.|а+b| ≤ |а|+|b|;

5.|а|= .

Для наглядного изображения чисел служит числовая ось. Ось – это прямая, с выбранным на ней направлением (указывается стрелкой). Числовая ось – это ось с выбранными на ней двумя точками О и Е. Точка О называется началом отсчета; она делит ось на две полуоси – положительную, обозначаемую символом R⁺, и отрицательную, обозначаемую Rֿ. Точка ЕR⁺ и называется единичной точкой. Отрезок ОЕ называется единичным и служит для измерения длин отрезков и расстояний между точками оси. Примем за аксиому тот факт, что расстояние между любыми двумя точками оси можно выразить действительным числом. Расстояние между точками M и N будем обозначать d(M,N). Теперь можно установить соответствие между числами и точками числовой оси:

1) числу а соответствует точка А , находящаяся на расстоянии |а| от начала отсчета , причем АR⁺, если а > 0, АRֿ, если а<0;

2) точке A соответствует число а = ± d(A,О), причем знак ''+'' выбираем, если АR⁺, а ''–'' выбираем, если АRֿ;

3) числу 0 соответствует начало отсчета (и наоборот).

В силу этого соответствия вполне допустимы обороты ''число А'' и ''точка а ''. Модуль числа а можно понимать как расстояние от начала отсчета до точки, которая изображает число а.

§2. Системы координат

Задать систему координат (на прямой, на плоскости, в пространстве) – это значит указать способ, позволяющий устанавливать положение точек (прямой, плоскости, пространства) с помощью чисел.

Когда речь заходит о системе координат необходимо различать два момента: 1) чем задается, определяется система координат; 2) что такое координаты точки.

I Система координат на прямой

Чтобы задать СК на прямой достаточно превратить ее в числовую ось, т.е. выбрать направление и две точки. Координатой точки А служит то действительное число x, которое изображает точка А: х=±d(A,0). Тот факт, что точка А имеет координату х записывают в виде А(х). Расстояние между точками A₁(х₁) и A₂(х₂) вычисляется по формуле

d(A₁,A₂)=|х₂-х₁|.

II Декартова прямоугольная система координат на плоскости

Задается двумя взаимно перпендикулярными числовыми осями с общим началом отсчета, равными единичными отрезками, причем указано, какая из них считается первой, а какая второй.

Общее начало отсчета называется началом координат и обозначается буквой О. Оси называются координатными осями или осями координат. Первую из них называют осью абсцисс и обозначают символом Ох, а вторую – осью ординат, обозначают Оу.

ПустьМ – произвольная точка плоскости. Спроектируем ее на координатные оси, т.е. опустим перпендикуляры из М на Ох и Оу. Основания этих перпендикуляров обозначим М₁ и М₂ соответственно. Эти точки, каждая на своей оси, имеют определенные координаты: М₁(х) и М₂(у).

Число х называется абсциссой точки М, а у – ординатой точки М.

Тот факт, что точка плоскости М имеет координаты х и у записывают

в виде М(х,у).

Расстояние между точками А₁(х₁,у₁) и А₂(х₂,у₂) вычисляется по формуле

.

Каждая ось разбивает плоскость на две полуплоскости: верхнюю и нижнюю (осьОх), правую и левую (ось Оу). Две оси вместе разбивают плоскость на 4 квадранта (четверти). Нумерация квадрантов и знаки координат показаны на рисунке