§6. Другие формы уравнения прямой на плоскости

В целях удобства решения стандартных задач в аналитической геометрии используются некоторые специальные формы записи уравнения прямой. Естественно, что все они могут быть получены путем алгебраических преобразований из общего уравнения (на то оно и общее!). Но мы будем выводить эти формы непосредственно, чтобы отчетливее выявлять их геометрический смысл.

I Каноническое уравнение

Определение. Всякий ненулевой вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется ее направляющим вектором. Стандартное обозначение:

Выведем уравнение прямой, проходящей через данную точку M₀(x₀;y₀) и имеющей данный направляющий вектор . Как обычно, берём текущую точку данной прямойM(x,y) и рассматриваем вектор Векторыиколлинеарны, следовательно, их проекции пропорциональны:

. (1)

Это и есть искомое уравнение. Его называют каноническим уравнением прямой.

Пример. Через точку M₀(1;2) провести прямую q, перпендикулярную прямой p:3x–4y+7=0.

Решение. Нормальный вектор прямойp перпендикулярен ей, а значит, параллелен прямой q, т.е. он для прямой q является направляющим

.

Следовательно, уравнение прямой q имеет вид

или .

Замечание 1. Если прямая проходит через две данные точки M₁(x₁;y₁) и M₂(x₂;y₂), то вектор – ее направляющий вектор. ПоложивM₀=M₁ и применив каноническую форму (1), получим уже известную форму:

. (2)

II Уравнение прямой “в отрезках”.

Рассмотрим прямую, которая пересекает обе координатные оси, причем не проходит через начало координат (ее общее уравнение – полное). Пусть A(a;0) и B(0;b) – точки пересечения прямой с осями Ox и Oy соответственно. Применив к этой прямой формулу (2), после преобразования получим

. (3)

Это уравнение принято называть уравнением “в отрезках”.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M₀(8;6) и отсекающей от координатного угла треугольник с площадью равной 12 кв.ед.

Решение. Запишем уравнение искомой прямой в отрезках

.

Наша задача – найти значения параметров a и b. Т.к. , тои после упрощения получаем8b+6a=ab. Это одно из уравнений, связывающее неизвестные параметры. Из самого смысла параметров а и b уравнения “в отрезках” получим: площадь треугольника, образованного прямой p и осями координат, выражается формулой

или .

Согласно условию нашей задачи имеем

.

Это второе уравнение. Итак, требуется решить систему уравнений

Эта система равносильна следующей

которая имеет два решения a₁= –8, b₁=3 и a₂=4, b₂= –6. Подставляя эти значения в уравнение прямой “в отрезках” и упрощая, получим искомые уравнения прямых:

3x–8y+24=0 и 3x–2y–12=0.

III Параметрические уравнения прямой

Пусть прямая проходит через точку M₀(x₀;y₀) и имеет направляющий вектор . Тогда для любой ее точкиM(x;y) вектор коллинеарен вектору. Это означает, что существует числоt такое, что . Записав это равенство в проекциях векторов, получим:x–x₀=tl, y–y₀=tm, или окончательно

(4)

Это и есть параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M₀(x₀;y₀) в направлении вектора .

Замечание 2. Если на параметр t смотреть как на время, то уравнения (4) определяют прямолинейное и равномерное движение точки M(x;y) со скоростью в направлении вектора; точкаM₀(x₀;y₀) – начальная (t=0) точка движения.

Пример. Составить уравнения движения точки M₀(1;1), движущейся прямолинейно и равномерно в направлении вектора со скоростью. Установить, в какой момент времени она пересечет прямую

x–y+9=0.

Решение. Сравнивая модуль вектора , равный, с заданной скоростьюv=15, мы видим, что в качестве вектора надо взять, т.е.. Тогда искомые уравнения имеют вид:

(5)

В любой момент времени t координаты движущейся точки вычисляются по формулам (5), в частности, и в момент пересечения с прямой x–y+9=0. Но в этот момент они должны удовлетворять и уравнению этой прямой, т.е. момент пересечения есть решение уравнения (1+9t)–(1+12t)+9=0 или –3t+9=0. Отсюда t=3.