III Приклади неелементарних функцій

1)

(читається «у дорівнює сігнум х»).

2) y = [x], де [x]  ціла частина числа x

(читається «y дорівнює антье x»).

Ця функція неелементарна, тому що задається не формулою, а словесно:

[x]  найбільше ціле, що не перевищує x.

Відзначимо одну властивість: .

3. y = {x}, де {x}дробова частина числа x, тобто {x} = x  [x].

Лекція 2

§3. Послідовності: основні поняття, приклади

I Означення

Нехай кожному натуральному числу n за деяким правилом поставлене у відповідність певне число x_n: 1  x₁, 2  x₂, …, n  x_n, … Нескінченна сукупність цих чисел x₁, x₂, …, x_n, … називається числовою послідовністю, самі числа називаються членами послідовності, x_n  загальний член послі- довності. Короткий запис: {x_n}  «послідовність із загальним членом x_n».

Інакше кажучи, послідовність – це функція натурального аргументу: х_п=f(n).

Послідовність можна задавати:

1) аналітично, наприклад, ;

2) словесно, наприклад, 2, 3, 5, 7, 11…послідовність простих чисел;

3)рекурентним способом, наприклад, .

При цьому способі задають перший або кілька перших членів і формулу, що дозволяє визначити будь-який член послідовності по відомим попереднім членах.

II Елементи поводження й операції

Як і для довільної функції, для послідовності можна ввести поняття монотонності й обмеженості.

1) Послідовність {x_n} називається зростаючою (неспадною), якщо длябудь-якого n. Якщо ж для будь-якого n маємо нерівність , то послідовність називаєтьсяспадною (незростаючою).

2) Послідовність {x_n} називають обмеженою зверху, якщо , іобмеженою знизу, якщо . Послідовність називають обмеженою, якщо вона обмежена зверху й знизу. Можна дати й інше визначення обмеженості:.

Члени послідовності зручно зображувати точками на числовій осі. Тоді обмеженість означає, що всі члени послідовності належать деякому відрізку , а зростання означає, щокожний наступний член послідовності розташован праворуч від попереднього.

Над послідовностями можна здійснювати арифметичні операції. Наприклад, сума послідовностей {x_n} і {y_n}  це послідовність {z_n} така, що . Аналогічновизначаються різниця, добуток і частка. Корисно вміти представляти дану послідовність як суму або добуток двох інших послідовностей. Наприклад, є

добуток і.

III Приклади

1)  стаціонарна послідовність.

2)  обмежена, немонотонна.

3)  обмежена знизу, немонотонна.

4)  обмежена, зростаюча.

5)  це послідовність із загальним членом

§4. Нескінченно малі послідовності і їхні властивості

I Два означення

Означення 1 (мова «N»). Послідовність називають нескінченномалою (н.м.), якщо для кожного (як завгодно малого) додатного числа  найдеться номер N=N() (залежний, загалом кажучи, від ), починаючи з якого виконується нерівність .

Використовуючи квантор загальності і квантор існування, це означення можна записати в такий спосіб:

.

Для подальшого нам знадобиться одне важливе поняття. От його означення:

інтервал називається-околом точки .

Нерівність , що фігурує у визначенні 1,рівносильна подвійній нерівності , що означає наступне:. Тепер можемо дати друге означення (рівносильне першому).

Означення 2 (мова «околів»). Послідовність називаєтьсян.м., якщо кожен (як завгодно малий) -окіл нуля містить всі члени послідовності, починаючи з деякого номера N() (залежного, загалом кажучи, від  ).

З визначення 2 можна зробити висновок: поза кожного (як завгодно малого) -околу нуля знаходиться лише скінчена кількість членів н.м. послідовності.

Для н.м. послідовності прийняте позначення(читається «о мале від 1»), іноді уточнюють, додаючи:n.