Тема формулы тейлора и маклорена

Лекция 15

§1. Формула Тейлора для многочлена. Бином Ньютона

Напомним формулу для вычисления производных (любого порядка) степенной функции с натуральным показателем степени:

С помощью этой формулы установим связь между коэффициентами многочлена п^ой степени

(1)

и производными самого многочлена в нуле. Запишем многочлен в виде

Первое слагаемое правой части после k–кратного дифференцирования обратится в ноль, а второе – в . Для третьего слагаемого имеем:

В этой сумме все показатели степени . Чтобы эта сумма обратилась в ноль, достаточно положить Итак, получим связь:

Отсюда вытекает формула, выражающая коэффициенты многочлена через производные самого многочлена:

(2)

Теперь многочлен (1) можно записать в форме

Напомним, что производная нулевого порядка – это сама функция.

Иногда требуется многочлен (1) записать не по степеням , а по степеням двучленаНетрудно убедиться, что в этом случае коэффициенты вычисляются по формулеа сам многочлен можно записать в виде

Это и есть формула Тейлора для многочлена.

Из формулы (2) для коэффициентов многочлена (1) можно вывести два важных следствия.

Следствие 1. Рассмотрим два многочлена

и

Если то иоткуда получим: а) степени многочленов равные –; б) коэффициенты при одинаковых степенях переменной равные –

Следствие 2. Рассмотрим многочлен, представляющий собой степень биномаи запишем его в стандартной форме (1):

Коэффициенты вычислим по формуле (2):

Итак, мы получили т.н. формулу бинома Ньютона:

Числа обозначают и называют биномиальными коэффициентами. Так как , можно использовать компактную запись этих чисел:

Это число возникают в задачах комбинаторики, где они называются «числом сочетаний из по» и дают ответ на вопрос: «Сколькими способами можно выбратьпредметов изпредметов, если не важен порядок выбора?»

Пример. Запишем многочлен по степеням. В соответствии с формулой Тейлора имеем:

Здесь:

Итак,

§2. Формула Тейлора для произвольной функции

I Определения

Рассмотрим функцию , которая имеет в точкепроизводные всех порядков доп-го включительно. Составим для этой функции многочлен .(1)

Из результатов предыдущего параграфа следует, что коэффициент при , т.е. , должен равняться . Таким образом, многочлен (1) удовлетворяет соотношениям:

Поскольку функция не многочлен, то уже нельзя ожидать равенства. Однако, из-за совпадения производных естественно ожидать, что. Поэтому особый интерес приобретает изучение разности

Для производных этой функции справедливы соотношения:

(2)

Для последнего, очевидно, требуется, чтобы у функции существовала производная-го порядка.

Принята следующая терминология:

1) многочлен (1): – многочлен Тейлора порядкадля функции;

2) формула – формулаТейлора порядка для функцииили разложение по формуле Тейлора функции;

3) разность – остаточный член формулы Тейлора. Для разных целей имеются различные формы остаточного члена. Формулы Тейлора и различают по этим формам. Мы рассмотрим лишь 2 формы остаточного члена.