2.2. Декартовы координаты. Способы задания вектора

Литература: [1]‚ гл. I‚§§ 1, 2

[2]‚ § 5

[9]‚ гл.·3‚ § 3.2

Вектор называетсялинейной комбинацией векторов ,,…,, если его можно представить в виде, где,,…,− некоторые числа. Это равенство называют также разложением векторапо векторам,,…,.

Векторы ,,…,являютсялинейно зависимыми, если хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных. Например, . В противном случае (т.е. ни один из векторов,,…,не может быть представлен в виде линейной комбинации остальных) векторы являютсялинейно независимыми.

Пара векторов на плоскости является линейно зависимой тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарные.

Тройка векторов в пространстве является линейно зависимой тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.

Базисом на плоскости называется упорядоченная пара линейно независимых (т.е. неколлинеарных) векторов. Упорядоченная пара векторов означает, что указано, какой из этих векторов является первым, а какой вторым.

Базисом в пространстве называется упорядоченная тройка линейно независимых (т.е. некомпланарных) векторов.

Каждый вектор может быть представлен как линейная комбинация базисных векторов и притом единственным образом.

Например, . Здесь,,− базисные векторы. Коэффициенты,,разложения вектора по базисным векторам называются координатами вектора в этом базисе.

В трехмерном пространстве широко применяется декартова (прямоугольная) система координат Oxyz с базисными векторами ,,. Эти векторы ортогональны (т.е. взаимно перпендикулярны) и нормированы (т.е. имеют длину равную 1). Базис,,поэтому называется ортонормированным.

Любой вектор в декартовой системе координат может быть единственным образом представлен в виде.

Особенность декартовой системы координат в том, что коэффициенты этого разложения ,,(т.е. координаты вектора) являются проекциями векторана соответствующие осиOx, Oy и Oz.

Длина (модуль) вектора определяется по формуле:

.

Направление вектора задается угламиα, β, γ, образованными ими с координатными осями Ox, Oy и Oz. Косинусы этих углов (они называются направляющими косинусами вектора) определяются по формулам:

, ,.

Направляющие косинусы связаны соотношением

.

Если векторы иколлинеарные и сонаправленные, то их направляющие косинусы равны:

, ,.

Откуда, введя обозначение , получим условия коллинеарности векторови:

.

Заметим, что если векторы ипротивоположно направлены, то в равенстве следует передпоставить знак минус.

Если вектор задается направленным отрезком , причеми, то координаты вектора равны разности соответствующих координат точек конца и начала вектора

, ,,

при этом длина вектора определяется следующим образом

.

При сложении векторов в прямоугольной системе координат их координаты складываются

.

При умножении вектора на число координаты получаемого вектора умножаются на это число

.

Пример 11. Вектор составляет с осями координат острые углыα, β, γ, причем α = 45˚, β = 60˚. Найти его координаты, если .

Решение. Прежде всего, найдем угол .C учетом того, что угол острый, имеем

, .

Искомые координаты вектора

Итак, .