1.6. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений

Литература: [1]‚ гл. V‚ § 4

[2]‚ § 4

[9]‚ гл. 2, § 2.3

Основная идея метода Гаусса − последовательное исключение неизвестных.

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса состоит из двух этапов.

На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому виду.

На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из ступенчатой системы.

На практике удобнее работать не с системой, а с ее расширенной матрицей, выполняя элементарные преобразования над ее строками.

Сущность метода проиллюстрируем на примере решения системы из трех уравнений с тремя неизвестными.

Пример 10. Решить методом Гаусса систему уравнений

Решение. Данной системе соответствует расширенная матрица

.

Приводим ее к ступенчатому виду (прямой ход):

~~~~

~.

Получили ступенчатую матрицу треугольного вида: число ее ненулевых строк равно числу неизвестных. Следовательно, система совместна и имеет только одно решение. Полученной матрице соответствует ступенчатая система уравнений:

Теперь осуществим обратный ход. Из последнего уравнения системы имеем

.

Подставляя это значение во второе уравнение, находим

.

Наконец, из первого уравнения, с учетом найденных значений y и z, получаем

.

Итак, система имеет единственное решение:

.

Таким образом, если число уравнений в полученной ступенчатой системе равно числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Все неизвестные в этом случае определяются последовательно, начиная с последнего.

Если же число уравнений в ступенчатой системе меньше числа неизвестных (), то система имеетбесконечное множество решений. В этом случае неизвестные x₁, x₂,…, x_n могут быть выражены через остальные неизвестные.

Система не имеет решений, если одно из уравнений имеет отличный от нуля свободный член, а все коэффициенты в левой части равны нулю, т. е. если при преобразованиях получаются уравнения вида

где .

Этому случаю соответствует появление в ступенчатой матрице строки вида

.

2. Векторная алгебра

2.1. Векторы. Линейные операции над векторами

Литература: [1]‚ гл.·І‚ § 1

[2]‚ § 5

[9]‚ гл.·3‚ § 3.2

В природе существует два рода величин: скалярные и векторные. Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными (температура, путь, масса, объем, электрический заряд, работа и т.д.). Величины, для задания которых необходимо знать не только их численное значение, но и направление в пространстве, называются векторными (сила, действующая на тело, перемещение, скорость, ускорение, момент вращения и т.д.).

Вектор − это направленный отрезок. Векторы обозначаются или, где− начало вектора,− его конец. Длина вектора называется егомодулем и обозначается или.

Коллинеарные векторы − это векторы, направления которых совпадают или противоположны, что обозначают ׀׀.

Компланарные векторы − это векторы, лежащие в параллельных плоскостях, в частности, в одной плоскости.

Два вектора и называютсяравными, если они имеют одинаковую длину и одинаково направлены. Обозначают .

Рассмотрим линейные операции над векторами.

Суммой векторов и называется вектор, идущий из начала векторав конец векторапри условии, что начало векторанаходится в конце вектора.

Это правило называют правилом треугольника (рис. 2.1, а) или параллелограмма (рис. 2.1, б) сложения векторов.

а) б)

Рис. 2.1 Сложение векторов

по правилу треугольника (а) и параллелограмма (б)

Понятие суммы векторов позволяют ввести:

1) операцию, обратную операции сложения, − разность векторов и как вектортакой, который в сумме с векторомдает вектор(рис. 2.2, а),

2) сложение произвольного конечного числа векторов (правило многоугольника) (рис. 2.2, б).

а) б)

Рис.2.2 Вычитание векторов (а) и

сложение векторов по правилу многоугольника (б)

Произведением вектора на число λ называется такой вектор , который удовлетворяет условиям:

а) ;

б) векторы и− сонаправленные, если числоλ > 0, и противоположно направленные, если λ < 0.

Таким образом, из определения операции умножения вектора на число следует, что векторы и=λ или сонаправленные или противоположно направленные, т.е. коллинеарные.