1.5. Общий случай линейной алгебраической системы уравнений. Условие совместности

Литература: [1]‚ гл. V‚ §§ 3, 4

[2]‚ §§ 3, 4

[9]‚ гл. 2, § 2.4

Ранг матрицы

Определитель k-го порядка, составленный из элементов, стоящих на пересечении произвольно выбранных k строк и k столбцов матрицы А, называется минором k-го порядка, порожденным данной матрицей.

Например, для матрицы А

минор второго порядка можно получить, выбрав 1 и 3 строки, а также 1-й и 4-й столбцы: .Очевидно, что минорами, порожденными этой матрицей, являются и другие определители 2-го порядка:

и т.д.

Данная матрица имеет минорами и определители 3-го порядка

Рангом матрицы А (обозначается ) называется наивысший порядок отличных от нуля миноров, порожденных этой матрицей.

В рассматриваемой матрице А наивысший порядок ее миноров равен трем. Вычислим один из них.

Так как этот минор отличен 0, то .

Вычислять все миноры, порождаемые данной матрицей, затруднительно. Поэтому для определения ранга матрицы можно использовать метод приведения матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.

Элементарными преобразованиями матрицы называются:

1) умножение какой-либо строки (столбца) на число ,

2) перестановка двух строк (столбцов),

3) прибавление к элементам одной строки (столбца) соответственных элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число .

Элементарные преобразования не меняют ранг матрицы.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получена из другой при помощи элементарных преобразований. Эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг.

С помощью эквивалентных преобразований матрицу можно привести к ступенчатому виду.

Матрица называется ступенчатой, если в ее первой строке имеется хотя бы один элемент отличный от 0, а в каждой последующей строке первый отличный от 0 элемент стоит правее первого отличного от 0 элемента предыдущей строки. Например,

.

Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк. Для определения ранга матрицы нужно, применяя элементарные преобразования, привести ее к ступенчатому виду.

Пример 7. Найти ранг матрицы

.

Решение. Приведем матрицу к ступенчатому виду, для чего:

1) поменяем местами 1-ю и 2-ю строки;

2) прибавим ко 2-й строке 1-ю, умноженную на (-2),

к 3-й строке 1-ю, умноженную на (-1);

3) прибавим к 3-й строке 2-ю, умноженную на (-2).

Получим

~~~.

У матрицы, приведенной к ступенчатому виду, две ненулевые строки, значит, ранг этой матрицы равен 2.

Итак, .

Исследование на совместность систем линейных алгебраических уравнений

Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными x₁, x₂, …, x_n:

Составим две матрицы:

и ,

где А − основная матрица системы, В − расширенная матрица системы.

Условие совместности любой линейной алгебраической системы определяется теоремой Кронекера-Капелли: для того, чтобы линейная алгебраическая система уравнений была совместна необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы равнялся рангу расширенной матрицы системы, т. е. .

При этом возможны два случая:

а) , тогда система имеет единственное решение;

б) , тогда система имеет бесконечное множество решений (при этомr неизвестных являются основными, остальные n - r неизвестных – свободными, им можно придавать произвольные значения, в зависимости от которых принимают значения основные переменные).

Пример 8. Исследовать на совместность систему уравнений

Решение. Составим основную и расширенную матрицы системы. Для удобства запишем их в виде

.

Здесь до вертикальной черты имеем основную матрицу системы, а вся матрица − расширенная. Для определения ранга матриц приведем их к ступенчатому виду.

~~~.

У основной матрицы, приведенной к ступенчатому виду, три ненулевые строки (), у расширенной − четыре (). Так как, система не совместна.

Пример 9. Исследовать на совместность систему линейных уравнений, и, если система совместна, найти ее решение

Решение. Составим основную и расширенную матрицы системы, определим ранг, приведя их к ступенчатому виду

~~.

Отсюда (так как у основной матрицыА и расширенной матрицы В после приведения к ступенчатому виду по две нулевых строки). Следовательно, число основных неизвестных равно двум. В качестве таковых можно взять x₁ и x₂, так как коэффициенты при них в ступенчатой матрице образуют минор, отличный от нуля 0 и, следовательно, определяют ранг основной и расширенной матриц. Тогда переменныеx₃ и x₄ свободные. Им можно придавать произвольные значения. Например, x₃=α, x₄=β ().

Решение системы найдем, пользуясь ступенчатой расширенной матрицей. Ей соответствует система вида

Оставим слева основные переменные, а свободные перенесем вправо, заменив их значениями α и β:

Из последнего уравнения этой системы .

Подставив найденное значение x₂ в первое уравнение, получим

.

Итак, решение системы имеет вид

.