1.3. Применение определителей к решению систем линейных алгебраических уравнений. Правило Крамера

Литература: [1], гл. V, § 2

[2], § 4

[9], гл. 2, § 2.2

Рассмотрим систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными:

где − коэффициенты при неизвестных;x, y, z − неизвестные, − свободные члены уравнений (i, j = 1, 2, 3).

Решением системы называется любая совокупность значений неизвестных, подстановка которых в каждое уравнение системы превращает его в верное равенство (тождество).

Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной.

Система уравнений, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.

Совместная система называется определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, если у нее больше одного решения.

Определителем системы (основным определителем) называется определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных.

Правило Крамера: а) если определитель системы трех уравнений с тремя неизвестными отличен от нуля, то эта система имеет единственное решение, которое вычисляется по формулам

,

где − определитель системы,(j = 1, 2, 3) − определитель, отличающийся от определителя системы тем, что в нем i-й столбец заменен столбцом свободных членов уравнений системы;

б) если определитель системы , но хотя бы один из определителей, то система решения не имеет (несовместна);

в) если определитель системы и все определители(j = 1, 2, 3), то система либо несовместна, либо имеет бесчисленное множество решений.

Правило Крамера справедливо и для системы из n уравнений с n неизвестными, т.е. для системы вида

В этом случае, если , то(j = 1, 2, 3,…, n).

Пример 4. Решить систему уравнений методом Крамера

.

Решение. Вычисляем определитель системы

.

Так как , то система имеет единственное решение.

.

Тогда

.

Пример 5. Решить систему уравнений

Решение. Определитель системы .

Вычисляем определитель

Так как , а, система решений не имеет.

1.4. Матричный способ решения систем линейных алгебраических уравнений

Литература: [1]‚ гл. V‚ § 5

[2]‚ § 15

[9]‚ гл. 2, § 2.4

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от 0. В противном случае (т.е. когда определитель матрицы равен 0) матрица называется вырожденной.

Матрица называетсяобратной матрице , если для нее выполняется условие

.

где Е − единичная матрица того же порядка, что и матрица .

Для того чтобы матрица А имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Рассмотрим процесс построения обратной матрицы для матрицы 3-го порядка:

.

Вычисляем определитель det A этой матрицы. Он должен быть отличен от нуля. Затем находим алгебраические дополнения элементов матрицы А (А₁₁, А₁₂, ..., А_nn). Из них строим присоединенную матрицу по следующему правилу: алгебраические дополнения элементов строк матрицыА составляют соответствующие столбцы матрицы :

.

Обратную матрицу получаем по формуле:

.

Для матрицы А размерности обратная матрица имеет вид:

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

Построим следующие матрицы:

, ,.

Здесь А − основная матрица системы, X − матрица-столбец неизвестных, В − матрица-столбец свободных членов уравнений системы.

Тогда, используя операцию умножения матриц, данную систему можно представить в матричном виде

Пусть , тогда для матрицысуществует обратная матрица.

Для нахождения элементов неизвестной матрицы умножим слева полученное матричное уравнение на матрицу:

Так как , а, то получим

Пример 6. Решить матричным способом систему уравнений

Решение. Основная матрица системы, составленная из коэффициентов при неизвестных, имеет вид

.

Вначале убедимся, что эта матрица невырожденная. Для этого вычислим ее определитель:

Значит, для матрицы существует обратная матрица.

Обозначим через матрицу-столбец из неизвестных и черезВ − матрицу-столбец из свободных членов уравнений системы:

, .

Тогда заданную систему уравнений можно записать в матричном виде , откуда.

Строим обратную матрицу .

Находим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

, ,,

, ,,

, ,.

Записываем присоединенную матрицу

Тогда обратная матрица имеет вид

.

Для проверки правильности построения обратной матрицы нужно проверить, выполняются ли равенства и:

Равенство проверяем аналогично.

Находим неизвестную матрицу X

.

Элементы матрицы составляют решение заданной системы уравнений, т.е..