1.2. Определители. Свойства определителей

Литература: [1], гл. V, § 1

[2], §§ 1, 2

[9], гл. 2, § 2.1

Понятие определителя вводится только для квадратных матриц.

Определителем матрицы 2-го порядка называется число, вычисляемое по следующему правилу

.

Определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по следующему правилу:

Первое из слагаемых со знаком «+» представляет собой произведение элементов, расположенных на главной диагонали матрицы (). Остальные два содержат элементы, расположенные в вершинах треугольников с основанием, параллельным главной диагонали (и). Со знаком «-» входят произведения элементов побочной диагонали () и элементов, образующих треугольники с основаниями, параллельными этой диагонали (и).

= + −

Это правило вычисления определителя 3-го порядка называется правилом треугольников (или правилом Саррюса).

Свойства определителей рассмотрим на примере определителей 3-го порядка.

1. При замене всех строк определителя на столбцы с теми же номерами, что и строки, определитель своего значения не меняет, т.е. строки и столбцы определителя равноправны

.

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет свой знак.

3. Если все элементы некоторой строки (столбца) нули, то определитель равен 0.

4. Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

5. Определитель, содержащий две одинаковые строки (столбца), равен 0.

6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки (столбца), равен нулю.

7. Если каждый элемент некоторого столбца (строки) определителя представляет сумму двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в одном из которых в том же столбце (строке) стоят первые слагаемые, а в другом − вторые. Остальные элементы у обоих определителей одинаковые. Так,

.

8. Определитель не изменится, если к элементам какого-либо его столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на одно и то же число.

Следующее свойство определителя связано с понятиями минора и алгебраического дополнения.

Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного вычеркиванием той строки и того столбца, на пересечении которых этот элемент расположен.

Например, минором элемента определителя называется определитель .

Алгебраическим дополнением элементаопределителя называется его минор, умноженный на, гдеi − номер строки, j − номер столбца, на пересечении которых находится элемент . Алгебраическое дополнение обычно обозначается. Для элементаопределителя 3-го порядка алгебраическое дополнение

9. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения.

Например, определитель можно разложить по элементам первой строки

,

или второго столбца

.

Свойства определителей применяются для их вычисления.

Пример 3. Вычислить определитель .

Решение. 1-й способ. Данный определитель 3-го порядка можно вычислить по правилу треугольника

.

2-й способ. Используем свойство 9 о разложении определителя по элементам строки (столбца). Если разложить определитель по элементам любой строки (столбца), то придется вычислять три алгебраических дополнения. Число вычислений уменьшится, если среди элементов строки будут нулевые. Поэтому предварительно преобразуем определитель так, чтобы в нем имелась строка (столбец), в котором был бы всего один ненулевой элемент. Для этого прибавим к 1-й строке 2-ю, умноженную на 2, а к 3-й строке также 2-ю, умноженную на (-3). Получим

.

Раскладывая полученный определитель по элементам 1-го столбца, имеем

.

Аналогично, используя разложение определителя по элементам строки или столбца, можно вычислить определители 4-го и более высоких порядков.