Тема 2. Введение в математический анализ

12. Понятие функции как отображения множества на множество. Способы задания функции. Область определения. Основные элементарные функции, их графики. Элементарные функции. Неявные функции.

13. Числовая последовательность и функция натурального аргумента. Предел числовой последовательности. Теорема о существовании предела монотонной ограниченной последовательности (без доказательства).

Предел функции в точке и в бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Связь между ними. Теоремы о бесконечно малых. Теорема о разложении функции, имеющей предел, на постоянную и бесконечно малую.

14. Основные теоремы о пределах (о пределе суммы, произведения и частного). Теоремы о предельном переходе в неравенствах.

Раскрытие неопределенностей. Первый и второй замечательные пределы. Натуральные логарифмы.

Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые. Замена бесконечно малых эквивалентных при вычислении пределов.

15 Непрерывность функции в точке на интервале. Нахождение предела непрерывной функции. Непрерывность основных элементарных функций. Теоремы об арифметических действиях над непрерывными функциями. Теорема о непрерывности сложной функции. Свойства сложной функции. Свойства функций, непрерывных в замкнутом промежутке (без доказательства).

Точки разрыва функции. Классификация точек разрыва.

Рекомендуемая литература Учебники

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. − М. Наука, 1984. – 319 с.

2. Бугров Я.С., Никольский. С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1988. – 222 с.

3. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. − М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 240 с.

4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 224 с.

5. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2-х частях. Ч. 1. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 648 с.

6. Пак В.В., Носенко Ю.Л. Вища математика. – К.: Либідь, 1996. – 440 с.

7. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: В 2-х томах. Т. 1. – М.: Интеграл-Пресс, 2004. – 416 с.

8. Улітін Г.М., Гончаров А.М. Курс лекцій з вищої математики: Навчальний посібник. Ч. І-ІІ.–Донецьк: ДонНТУ, 2009. –219с.

Руководства к решению задач

9. Герасимчук В.С., Васильченко Г.С., Кравцов В.И.Курс классической математики в примерах и задачах: Учебное пособие. В 3-х частях. Ч. 1. – Донецк: ДонНТУ, 2005. − 584 с.

10. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2-х частях. Ч.1. – М.: Высшая школа, 1986. − 304 с.

Методические указания к изучению курса

1. Линейная алгебра

1.1. Матрицы. Действия над матрицами

Литература: [1], гл. V, §§ 1, 5

[2], §§ 3, 15

[9], гл. 2, § 2.4

Матрицей размерности называется прямоугольная таблица, состоящая из элементов, расположенных в m строках и n столбцах. Обозначается матрица следующим образом:

или .

Элементы матрицы (первый индексi − номер строки, второй индекс j − номер столбца) могут быть числами, функциями и т. п. Матрицы обозначают заглавными буквами латинского алфавита, например, , .

Матрица называется квадратной, если у нее число строк равно числу столбцов (m = n). В этом случае число n называется порядком матрицы, а сама матрица называется матрицей n-го порядка.

Элементы с одинаковыми индексами образуютглавную диагональ квадратной матрицы, а элементы (т.е. имеющие сумму индексов, равнуюn+1) − побочную диагональ.

Единичной матрицей называется квадратная матрица, все элементы главной диагонали которой равны 1, а остальные элементы равны 0. Она обозначается буквой Е. Например, единичная матрица третьего порядка имеет вид

.

Нулевая матрица − это матрица, все элементы которой равны 0. Нулевая матрица может быть любого размера.

К числу линейных операций над матрицами относятся:

1) сложение матриц;

2) умножение матриц на число.

Операция сложения матриц определена только для матриц одинаковой размерности.

Суммой двух матриц А и В называется матрица С, все элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц А и В:

.

Произведением матрицы А на число k называется матрица В, все элементы которой равны соответствующим элементам данной матрицы А, умноженным на число k:

.

Пример 1. Даны две матрицы

и .

Найти матрицу C = 2A – B.

Решение.

Операция умножения матриц вводится для матриц, удовлетворяющих условию: число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Произведением матрицы А размерности на матрицу В размерности называется матрица С размерности , элемент i-ой строки и j-го столбца которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В:

.

Произведение матриц (в отличие от произведения действительных чисел) не подчиняется переместительному закону, т.е. в общем случае А В В А.

Пример 2. Найти произведение АВ матриц

и .

Решение. Матрица А имеет размерность 3×4, а матрица В − 4×2. Так как число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, то матрицу А можно умножить на матрицу В (обратите внимание, матрицу В на матрицу А умножить нельзя). При этом получаем матрицу С = АВ размерности 3×2. Ее элементы:

Итак,

.